О Маклореновских разложениях

[a.k.]

Не сталкивался ли кто-нибудь с выводом разложений элементарных функций в окрестности нуля без применения теоремы Тейлора (и вообще без производных и правила Лопиталя соответственно)? Известно, как получить разложения до $o(x)$ для функций $\ln(1+x), e^x, (1+x)^\alpha$, для синуса и косинуса можно получить точность $o(x^2)$ и $o(x^3)$ соответственно. Для $(1+x)^\alpha$ при $\alpha=1/2$ можно элементарными методами(с помощью умножения на сопряженное) получить разложения до $o(x^n)$ для _любого_ натурального n, тоже самое можно сделать и для $\alpha=1/m$, где m - натуральное. Полагаю (сам не пробовал, но кажется вполне правдоподобным), что из этого можно получить разложения с любой степенью точности для всех рациональных, а затем и для всех действительных $\alpha$. Вот и подумал я: а можно ли предложить какой-нибудь элементарный метод для вывода формулы Маклорена для синуса и экспоненты?

[Oleg Zubelevich]

a.k. в сообщении #778635 писал(а):

Не сталкивался ли кто-нибудь с выводом разложений элементарных функций в окрестности нуля без применения теоремы Тейлора (и вообще без производных и правила Лопиталя соответственно)?

это невозможно

[a.k.]

То есть кто-то пробовал и не вышло? Показать невозможность тут вряд ли возможно...

[CptPwnage]

Ну вообще помнится как-то я решал задачу что если определить число e через известный предел, то можно доказать что ряд с факториалами сходится к тому же самому числу, отсюда наверное и для экспоненты любого числа можно вывести

[a.k.]

CptPwnage в сообщении #778645 писал(а):

Ну вообще помнится как-то я решал задачу что если определить число e через известный предел, то можно доказать что ряд с факториалами сходится к тому же самому числу, отсюда наверное и для экспоненты любого числа можно вывести

Безусловно можно из бинома, сейчас порылся и понял, что это задачи из Демидовича - 72 и 611! И также можно оценить остаток и показать, что он будет $o(x^n)$, отлично! Т.о. имеем разложение для показательной функции. Далее для $\ln(1+x)$ тоже получится разложение, пока не придумал, как красиво это сделать, но до $o(x^3)$ в лоб проверил только что. Тогда представим $(1+x)^\alpha$ как композицию показательной и логарифмической и сразу получим ряд Маклорена для нее! Остается только проблема с синусом...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Интересный способ не использовать производные там, где они сильно облегчают жизнь.

[provincialka]

Ну, показательная функция и логарифм хоть как-то связаны с арифметическими действиями. А вот насчет синусов и косинусов большие сомнения.

[CptPwnage]

Формула Эйлера возможно, подставить в ряд для экспоненты мнимую единицу

[Urnwestek]

CptPwnage в сообщении #778787 писал(а):

Формула Эйлера возможно, подставить в ряд для экспоненты мнимую единицу

Ну да, если синус определить как ряд, то ряд для синуса вполне легко находится. (:

[a.k.]

Цитата:

Ну да, если синус определить как ряд, то ряд для синуса вполне легко находится. (:

В целом так действительно можно поступить, если вспомнить функциональные свойства синуса, показать единственность непрерывной функции, удовлетворяющей этим свойствам, а затем показать, что функция, определенная как соответствующий ряд, этим свойствам удовлетворяет... Но это не то, что хотелось бы, моя цель - придумать что-нибудь попроще!

[ewert]

CptPwnage в сообщении #778645 писал(а):

как-то я решал задачу что если определить число e через известный предел, то можно доказать что ряд с факториалами сходится к тому же самому числу,

А зачем Вы её решали?... Это ведь тема модная -- как минимум Фихтенгольц и Кудрявцев ровно этим способом число $e$ и вводят.

[Евгений Машеров]

Ну, вообще-то это задача из ряда: "Как придумать дифференциальное исчисление

(Оффтоп)

с блэкджеком и шлюхами

без слова производная"
Но если бы меня поставили к стенке и приказали выводить или...
Я бы воспользовался функциями для синуса и косинуса суммы углов. Считая известным, что в окрестностях нуля синус примерно равен х.

[gris]

Допустим, что вблизи нуля $\sin x \sim x+ax^3$. Для допущения нужно только знание значения в нуле и нечётности синуса. То, что $\sin x \sim x$ известно без производных.
Берём формулу синуса тройного угла $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$. Подставляем в неё наше приближение, раскрываем скобки и оставляем степени, не выше третьей:
$3x+a\cdot (3x)^3= 3(x-ax^3)-4(x+ax^3)^3$

$3x+27ax^3=3x+3ax^3-4x^3+...$

$a=-4/24$

Итак, $\sin x\sim x-\dfrac{x^3}{6}$

Синус пятикратного угла не рассматривал, но уверен.

-- Ср окт 23, 2013 09:52:29 --

Евгений Машеров

[provincialka]

Я делала то же без тройного угла. Достаточно двойной угол (синус его) представить двумя способами.
Но тут все упирается в существование многочлена Тейлора, т.е. в оценку его остатка

[Oleg Zubelevich]

gris в сообщении #778921 писал(а):

Для допущения нужно только знание значения в нуле и нечётности синуса.

для допущения нужны соображения гладкости, которые ТС исключает