2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Эйлеров интеграл и несобственный интеграл
Сообщение19.05.2007, 22:27 
Привет! Подскажите, помогите, пожлуйста, решить два следующих интеграла, бьюсь долго с ними...

2. Вычислите интеграл, используя интеграл Эйлера, (предварительно определив область существования) $$\int\limits_{0}^{\infty}\frac {arctg\, x} {x^m} \, dx\, .$$
4. Найти преобразование Фурье функции $$f(x)= \frac {\sin x} {1+x^4} \, .$$

 
 
 
 
Сообщение20.05.2007, 00:29 
2. Область существования Вы, вероятно, легко вычислили: $1<m<2$.
А далее удобно воспользоваться следующим представлением бета-функции Эйлера: $$\mathrm{B}(\alpha,\beta)=\int\limits_0^\infty \frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha+\beta}}\,dy$$, которое получается из ее определения заменой $x=\dfrac{y}{1+y}$.
Далее свести Ваш интеграл к этому уже не представляет труда.

Добавлено спустя 5 минут 53 секунды:

4. Здесь все сводится к вычислению интегралов $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{ix(y-1)}}{1+x^4}\,dx$$ и $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-ix(y+1)}}{1+x^4}\,dx$$, которые можно посчитать, например, через вычеты.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2007, 05:30 
Через какие еще вычеты???

Добавлено спустя 12 минут 41 секунду:

В смысле комплексную функцию F(x) мы разлагаем
мнимую и действительную части, и интегрируем их по отдельности
(т.е. i - выступает как const)? Законно ли это?

 
 
 
 
Сообщение20.05.2007, 06:40 
Аватара пользователя
 !  Поскольку картинки резко ухудшают читаемость сообщений, правила требуют набора формул при помощи тега [math]. тема переносится в «Карантин». Пожалуйста, исправьте, и сообщите ЛС мне или любому модератору.


 !  dm:
Вернул.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2007, 18:45 
Gordmit, давай на "ты", если не против. ;)

Спасибо огромное за оригинальный ход в 4ом! Так действовать и буду!

В 2ом с $m>1$ понятно. Поясни, пожалуйста, как ты получил $m<2$? это какое-то свойство?
Как перейти от $$\int\limits_{0}^{\infty}\frac {arctg\, x} {x^m} \, dx\, $$ к выведенной тобой B-функции? Я пробовал через интегрированние по частям, и замены разные делал, никак не получается.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2007, 22:29 
Аватара пользователя
Fabif писал(а):
Поясни, пожалуйста, как ты получил $m<2$? это какое-то свойство?
- это следует из требования сходимости интеграла в 0.
Fabif писал(а):
Я пробовал через интегрированние по частям
- плохо пробовал.

 
 
 
 
Сообщение22.05.2007, 22:11 
Какие именно части нужно обозначать?

 
 
 
 
Сообщение22.05.2007, 22:15 
Аватара пользователя
Fabif писал(а):
Какие именно части нужно обозначать?
Правую, или левую.

 
 
 
 
Сообщение22.05.2007, 22:20 
Люди, подскажите, пожалуйста, что именно в интеграле $$\int\limits_{0}^{\infty}\frac {arctg\, x} {x^m} \, dx\, $$ нужно обазначать за $$u$$, что за $$v$$?

 
 
 
 
Сообщение22.05.2007, 22:29 
Аватара пользователя
При \[m \ne 1\] имеем: \[\int\limits_0^\infty  {\frac{{arctg\,x}}{{x^m }}} dx = \frac{1}{{1 - m}}\int\limits_0^\infty  {arctg\,x\,} dx^{1 - m} \] Далее -думаем...

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group