Несовершенство математики

[Munin]

Курдюмова лучше не читать, выясняется, что он ерунду гонит.

provincialka в сообщении #778850 писал(а):

Да нет, я понимаю, что теория катастроф ближе к диф. геометрии, только изучает не регулярные, а сингулярные (правильный термин?) состояния.

Вот уж не знаю, правильный ли термин. Я с катастрофами знаком не глубже, чем по популярным частям книжки Арнольда :-)

provincialka в сообщении #778850 писал(а):

А теория хаоса, наверное - ответвление диф. уравнений, теории устойчивости. Ну, примерно так.

Эта область (её можно рассматривать как ответвление диф. уравнений) называется динамикой или динамическими системами. Общая идея: допустим, точка движется по многообразию, и в каждом её положении можно вычислить, куда она движется дальше. Тогда мы всё многообразие можем расчертить возможными траекториями точки, и дальше картину таких линий изучать. Вот тут и лезет зоопарк разных структур и изучающих их теорий: устойчивые и неустойчивые положения, устойчивые и неустойчивые траектории, автоколебания и параметрические резонансы, перестройки, регулярные и хаотические режимы.

[Igor_Dmitriev]

Тема про новые, ещё не разработанные, области математики и несовершенство старых.

[Munin]

И чего же можно сказать содержательного о том, чего ещё не придумано вообще?

[dmd]

Igor_Dmitriev в сообщении #778660 писал(а):

Вот я и спрашиваю: есть ли сейчас что-то, что существующими инструментами не описывается?

Самое яркое - это проблема Навье-Стокса. И я очень сильно сомневаюсь, что в текущем математическом синтаксисе она когда-нибудь может быть решена.

Моя тема про несовершенство анализа. Но это не новое в математике, а очень хорошо забытое старое. Об этом думал ещё Лагранж, но, к сожалению, не додумал. Так и не сумел полностью избавить основания анализа от бесконечно малых. Будущий матанализ может быть и точно будет без бесконечно малых и пределов. Предельные теоремы - это грязное пятно на картине совершенства математики.

[Sonic86]

dmd в сообщении #779207 писал(а):

Моя тема про несовершенство анализа. Но это не новое в математике, а очень хорошо забытое старое. Об этом думал ещё Лагранж, но, к сожалению, не додумал. Так и не сумел полностью избавить основания анализа от бесконечно малых. Будущий матанализ может быть и точно будет без бесконечно малых и пределов. Предельные теоремы - это грязное пятно на картине совершенства математики.

Следует также явно написать, что это исключительно Ваше мнение, притом никак не подтверждение. В то время как дело обстоит ровно наоборот.
"Предельные теоремы" - это что вообще?

[dmd]

Конечно же это моё неавторитетное имхо, никому его не навязываю.

Sonic86 в сообщении #779210 писал(а):

"Предельные теоремы" - это что вообще?

Всё косноязычное, содержащее в себе конструкции типа "для любого эпсилон найдется такая дельта, что выполнится некий предельный переход".

[provincialka]

dmd в сообщении #779217 писал(а):

Всё косноязычное, содержащее в себе конструкции типа "для любого эпсилон найдется такая дельта, что выполнится некий предельный переход".

Действительно, косноязычно. При этих предположениях никакой предельный переход
не "выполняется". Выполняется нечто другое.

[Sonic86]

dmd в сообщении #779217 писал(а):

Всё косноязычное, содержащее в себе конструкции типа "для любого эпсилон найдется такая дельта, что выполнится некий предельный переход".

Ааа, так это просто вполне себе нормальное определение, от которого строятся потом более сильные и простые средства. С другой стороны, в некоторых местах без них действительно трудновато (могу пример показать), так что это вполне полезно. Где-то я также читал, что в современном анализе, который дается сразу вместе с топологией и этого нет, т.е. оно там есть, но по-другому, в других терминах (типа база топологии, система окрестностей).

[dmd]

Никого никуда не агитирую. Просто излагаю свой взгляд. Там, где вводится предельный переход - заканчивается анализ как таковой. Аналитичность отсекается напрочь. Излагаю это на уровне своих чувств и естественных наблюдений. Поэтому делайте плиз скидку соответствующую в критике. Не хотите тоже самое прочувствовать - забейте. Анализ может и должен быть в первую очередь наблюдательным, и в самую последнюю - измышлятельным, как сейчас. Предельный переход его делает таковым. Естественный математический талант, данный от природы некоторым людям, вполне способен наблюдать аналитические результаты напрямую без измышлений. Но современный стиль матанализа совсем этому не способствует.

Расскажу как я нашёл ту форму решения кубического уравнения. Ускорение в квадратичном движении постоянно - всем известно, и одновременно это тривиальный аналитический результат матанализа. Аналогично в "кубическом движении" постоянной будет скорость ускорения, т.е. коэффициент при максимальной степени аргумента. Каково же было моё удивление, когда я увидел - именно натурально увидел - что в кубической динамике имеет место вторая константа, которую стандартный анализ абсолютно не способен замечать. Затем неожиданно оказалось, что вторая константа позволяет легко решить полное кубическое уравнение. Это чисто аналитический результат, полученный естественным наблюдением в результате введения в синтаксис двусимвольной переменной. Уверен, многие вообще не втыкают - как это, коэффициенты функции-полинома меняются? Не говоря уже про наблюдение цельной динамической картины в воображении.

Я по себе сужу, поэтому поймите правильно. Прекрасно помню, как я изучал математику. Как только внимание доходит до любого места с предельным переходом - всё, весь наблюдательный потенциал внимания как отсекается. Это видно, если попробовать проанализировать себя в этот момент как бы со стороны. Почему это может быть у других не так? Думаю, что точно так, нечем я не уникален, все мы примерно одинаковы.

[Утундрий]

dmd в сообщении #779248 писал(а):

Прекрасно помню, как я изучал математику.

А как изучили не помните?

[ewert]

dmd в сообщении #779248 писал(а):

Там, где вводится предельный переход - заканчивается анализ как таковой. Аналитичность отсекается напрочь.

А аналитики в практике и не существует как класса. Т.е. изредка существует, но -- как экзотика. Подавляющее же большинство практически интересных задач решаются исключительно теми или иными предельными переходами.

[korolev]

dmd в сообщении #779207 писал(а):

Самое яркое - это проблема Навье-Стокса. И я очень сильно сомневаюсь, что в текущем математическом синтаксисе она когда-нибудь может быть решена. Будущий матанализ может быть и точно будет без бесконечно малых и пределов. Предельные теоремы - это грязное пятно на картине совершенства математики.

1. Математика ныне - самая совершенная наука. Если же верить названию данной темы, то что тогда говорить о такой науке, как история?
2. Проблема Навье-Стокса обязательно будет решена. Нужно только дождаться гения, равноценного не Мунину, а Перельману.
3. Зря льете грязь на предельные теоремы. Они беспредельно раздвинули круг успешно решенных математических и даже физических задач.

[Igor_Dmitriev]

dmd в сообщении #779248 писал(а):

Никого никуда не агитирую. Просто излагаю свой взгляд. Там, где вводится предельный переход - заканчивается анализ как таковой. Аналитичность отсекается напрочь. Излагаю это на уровне своих чувств и естественных наблюдений.

Посмотрел на решение уравнений 3-й и 4-й степеней: как Вы до этого додумались и сколько сидели над ними?

Как можно без предельных теорем решать некоторые задачи? Не всё же поддаётся рассуждениям на основе наблюдений? Вы вообще предлагаете обходиться без пределов, производных, интегралов?

Почва действительно интересная.

[dmd]

Igor_Dmitriev в сообщении #779316 писал(а):

Посмотрел на решение уравнений 3-й и 4-й степеней: как Вы до этого додумались и сколько сидели над ними?

Я не думал над решением, а естественным образом увидел его. Это не одно и тоже. Попробуйте понаблюдать за собой, когда вы играете в шахматы. Это конечно если вы играете в карповском стиле. Нет ни какого думания, есть только чистый полёт внимания. Как только включается думалка - игра рассыпается.

Цитата:

Как можно без предельных теорем решать некоторые задачи? Не всё же поддаётся рассуждениям на основе наблюдений?

Имхо наоборот, рассуждениям на основе наблюдений должно поддаваться абсолютно всё. А вот рассуждениям на основе рассуждений - очень не многое.

Цитата:

Вы вообще предлагаете обходиться без пределов, производных, интегралов?

Нет. Я предлагаю другую более естественную интерпретацию производных и интегралов, которую разглядели Лагранж и несколько забытых математиков до него.

[korolev]

dmd в сообщении #779359 писал(а):

Цитата:

Вы вообще предлагаете обходиться без пределов, производных, интегралов?

Нет. Я предлагаю другую более естественную интерпретацию производных и интегралов, которую разглядели Лагранж и несколько забытых математиков до него.

От этого таблица интегралов под редакцией Прудникова изменится?