Область сходимости функционального ряда

[edw1n]

Приветствую. Помогите найти область сходимости функционального ряда.
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{\ln^n(x+2)}$

По признаку Даламбера я получил:

$\lim\limits_{n\to \infty} \lvert \frac{1}{\ln^{n+1}(x+2)} \times \frac{\ln^n(x+2)}{1} \rvert = \lim\limits_{n\to \infty} \lvert \frac{1}{\ln(x+2)} \rvert$

Далее перешел к неравенству:

$\lvert \frac{1}{\ln(x+2)} \rvert<1$

$\lvert \ln(x+2) \rvert>1$

$x>e-2$

$-2<x<-1$

Теперь нужно проверить ряд на концах области. Когда подставляю точку $-2$ в ряд, то получаю:

$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1 }{\ln^n(0)}$, но натурального логарифма от $0$ не существует. Как мне быть ? Помогите пожалуйста. В чем я допустил ошибку ? Спасибо.

[alcoholist]

$x>e-2>0$

[provincialka]

При раскрытии модуля получится два промежутка, но второй вы нашли неправильно.

А почему вас смущает, что при $x=-2$ слагаемые не существуют? Эо же хорошо, сразу ясно, что ряд в этой точке расходится.

Вообще этот ряд можно рассматривать как степенной по степеням переменной $t=\frac{1}{\ln(x+2)}$.