2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти полные дифференциалы первого и второго порядков
Сообщение19.05.2007, 10:06 
Найти полные дифференциалы первого и второго порядка для функции
\[
u = f\left( {\sqrt {x^2  + y^2 } } \right)
\]
$x,y$ - независимые переменные
Первый дифференциал:
\[
du = f'd\left( {\sqrt {x^2  + y^2 } } \right) = f'\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2  + y^2 } }}
\]
Второй дифференциал:
\[
d^2 u = d(f')\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2  + y^2 } }} + f'd\left( {\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2  + y^2 } }}} \right)
\]
При этом
\[
d(f') = f''\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2  + y^2 } }}
\]
\[
d\left( {\frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2  + y^2 } }}} \right) = \frac{{(d^2 x + d^2 y) - \frac{{xdx + ydy}}{{\sqrt {x^2  + y^2 } }}}}{{x^2  + y^2 }} = \frac{{(d^2 x + d^2 y)\sqrt {x^2  + y^2 }  - (xdx + ydy)}}{{\sqrt {(x^2  + y^2 )^3 } }} =... 
\] в ответе эта часть равна \[
... = \frac{{(ydx - xdy)^2 }}{{\sqrt {(x^2  + y^2 )^3 } }}
\]
Я не совсем понимаю как так упростилось - может я не правильно продифференцировал

 
 
 
 
Сообщение19.05.2007, 11:23 
Аватара пользователя
Во-первых, не $d^2x$, а $dx^2(:=(dx)^2)$.
Во вторых,
$$d\left(\frac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\frac{d(x\,dx+y\,dy)}{\sqrt{x^2+y^2}}+(x\,dx+y\,dy)d\left(\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\ldots$$
Если всё правильно посчитаете, то всё получится.

 
 
 
 
Сообщение22.05.2007, 18:11 
Спасибо :) все получилось

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group