Преобразование Фурье функции, разрывной в нуле

[Nimza]

Пусть $f(x) \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ --- функция из класса Шварца, $f(0) \neq 0$. Тогда можно рассмотреть её проекцию на направление $x$, так мы получим новую функцию $g(x)$:

$$ g(x) = \left\langle f(x), \frac{x}{|x|} \right\rangle \frac{x}{|x|}, $$

которая убывает на бесконечности быстрее любой степени и бесконечно дифференцируема вне нуля. В нуле же она разрывна. По лемме Римана-Лебега преобразование Фурье $\hat g$ от функции $g$ стремится к нулю на бесконечности. Но можно ли для такого частного случая функций как $g$ (а именно проекций функций из класса Шварца) получить какие-нибудь оценки на убывание $\hat g$ на бесконечности? Будет ли для достаточно маленьких $\varepsilon > 0$ выполняться $(1+|\xi|^2)^{\frac{\varepsilon}{2}} \hat g(\xi) \in L_1(\mathbb R^2)$?