Дифф. геометрия

[teddybrooks]

1) Доказать, что при каждой параметризации плоскости ее вторая квадратичная форма равна нулю.
2) Доказать, что при любой параметризации сферы ее первая квадратичная форма пропорциональна второй.

1) Мы знаем уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$, из него $z$ можно выразить как линейную функцию от $x$ и $y$. Все вторые производные равны нулю и, пользуясь формулой $\frac{1}{\sqrt{1+f_{x}^2+f_{y}^2}}\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}$ получаем, что и вторая кв. форма тоже равна нулю. Но доказательство ли это, ведь получается, что я беру конкретную параметризацию, а не общую?
2) По второй идей вообще нет.

[iifat]

А не просветите, как нам узнать, является ли некая параметризация — параметризацией плоскости?

[teddybrooks]

iifat в сообщении #776962 писал(а):

А не просветите, как нам узнать, является ли некая параметризация — параметризацией плоскости?

Посмотреть, являются ли $x,y,z$ линейными функциями от $u$ и $v$ ?

[iifat]

$ \begin{cases} x=u^3\\ y=z^3\\ z=u^3+v^3 \end{cases} $
Ы?

[Утундрий]

iifat в сообщении #776962 писал(а):

как нам узнать, является ли некая параметризация — параметризацией плоскости?

Посчитать кривизну.

[alcoholist]

teddybrooks в сообщении #776956 писал(а):

По второй идей вообще нет

отношение второй формы к первой -- это нормальная кривизна

[teddybrooks]

Спасибо всем, вроде бы разобрался, в первой задаче поскольку систему координат выбираем мы сами, можно всегда выбрать ее таким образом, чтобы ось $Oz$ была ортогональна плоскости, тогда поверхность параметризуется в таком виде $r=(\varphi(u,v),\psi(u,v),0)$, откуда $n=(0,0,\mu(u,v))$, и $(r_{uu},n)=(r_{uv},n)=(r_{vv},n)=0$
А условие второй вроде как следует из того, что, как уже написал alcoholist, отношение второй формы к первой есть нормальная кривизна, которая у сферы постоянна.