2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифф. геометрия
Сообщение18.10.2013, 19:58 


04/01/13
21
1) Доказать, что при каждой параметризации плоскости ее вторая квадратичная форма равна нулю.
2) Доказать, что при любой параметризации сферы ее первая квадратичная форма пропорциональна второй.

1) Мы знаем уравнение плоскости $Ax+By+Cz+D=0$, из него $z$ можно выразить как линейную функцию от $x$ и $y$. Все вторые производные равны нулю и, пользуясь формулой $\frac{1}{\sqrt{1+f_{x}^2+f_{y}^2}}\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}$ получаем, что и вторая кв. форма тоже равна нулю. Но доказательство ли это, ведь получается, что я беру конкретную параметризацию, а не общую?
2) По второй идей вообще нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. геометрия
Сообщение18.10.2013, 20:13 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
А не просветите, как нам узнать, является ли некая параметризация — параметризацией плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. геометрия
Сообщение18.10.2013, 20:20 


04/01/13
21
iifat в сообщении #776962 писал(а):
А не просветите, как нам узнать, является ли некая параметризация — параметризацией плоскости?

Посмотреть, являются ли $x,y,z$ линейными функциями от $u$ и $v$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. геометрия
Сообщение18.10.2013, 20:45 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
$
\begin{cases}
x=u^3\\
y=z^3\\
z=u^3+v^3
\end{cases}
$
Ы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. геометрия
Сообщение20.10.2013, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
iifat в сообщении #776962 писал(а):
как нам узнать, является ли некая параметризация — параметризацией плоскости?

Посчитать кривизну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. геометрия
Сообщение20.10.2013, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
teddybrooks в сообщении #776956 писал(а):
По второй идей вообще нет

отношение второй формы к первой -- это нормальная кривизна

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифф. геометрия
Сообщение21.10.2013, 11:09 


04/01/13
21
Спасибо всем, вроде бы разобрался, в первой задаче поскольку систему координат выбираем мы сами, можно всегда выбрать ее таким образом, чтобы ось $Oz$ была ортогональна плоскости, тогда поверхность параметризуется в таком виде $r=(\varphi(u,v),\psi(u,v),0)$, откуда $n=(0,0,\mu(u,v))$, и $(r_{uu},n)=(r_{uv},n)=(r_{vv},n)=0$
А условие второй вроде как следует из того, что, как уже написал alcoholist, отношение второй формы к первой есть нормальная кривизна, которая у сферы постоянна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group