2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 представление эйлеровой экспоненты
Сообщение18.10.2013, 13:26 
Аватара пользователя
Здравствуйте, в книге Ширяева по Теории Вероятностей в разделе про характеристические функции сл. величин в одной из теорем используется следующее соотношение с участием эйлеровой экспоненты:
$$
e^{iy}
=\cos y+i\sin y
=\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(iy)^k}{k!}+\dfrac{(iy)^n}{n!}[\cos(\theta_1 y)+i\sin(\theta_2 y)],
$$
где $|\theta_1|<1$ и $|\theta_2|<1$. Откуда это получается (последний член)?

Если рассмотреть ряд
$$
e^{iy}
=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(iy)^k}{k!}
=
\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(iy)^k}{k!}
+
\sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{(iy)^k}{k!}
=
\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(iy)^k}{k!}
+
\dfrac{(iy)^n}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(iy)^k}{k!}\dfrac{k!}{\prod_{j=1}^k(n+j)},
$$
то как отсюда следует что
$$
\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(iy)^k}{k!}\dfrac{k!}{\prod_{j=1}^k(n+j)}
=\cos(\theta_1y)+i\sin(\theta_2 y)
$$
для неких $|\theta_1|<1$ и $|\theta_2|<1$?

Понятно что
$$
\dfrac{k!}{\prod_{j=1}^k(n+j)}<1,
$$
но не соображу переход к $\cos(\theta_1y)$ и $\sin(\theta_2 y)$. Можно разбить сумму на две части: по четным $k$ и по нечетным, будут ряды похожие на $\cos$ и $\sin$ но не совсем.

Спасибо.

 
 
 
 Re: представление эйлеровой экспоненты
Сообщение18.10.2013, 13:56 
Аватара пользователя
Надо для косинуса и синуса выписать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

 
 
 
 Re: представление эйлеровой экспоненты
Сообщение18.10.2013, 14:16 
Аватара пользователя
да, действительно, все просто.
спасибо

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group