представление эйлеровой экспоненты

[ecartman]

Здравствуйте, в книге Ширяева по Теории Вероятностей в разделе про характеристические функции сл. величин в одной из теорем используется следующее соотношение с участием эйлеровой экспоненты:

$$ e^{iy} =\cos y+i\sin y =\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(iy)^k}{k!}+\dfrac{(iy)^n}{n!}[\cos(\theta_1 y)+i\sin(\theta_2 y)], $$

где $|\theta_1|<1$ и $|\theta_2|<1$. Откуда это получается (последний член)?

Если рассмотреть ряд

$$ e^{iy} =\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(iy)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(iy)^k}{k!} + \sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{(iy)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(iy)^k}{k!} + \dfrac{(iy)^n}{n!}\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(iy)^k}{k!}\dfrac{k!}{\prod_{j=1}^k(n+j)}, $$

то как отсюда следует что

$$ \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(iy)^k}{k!}\dfrac{k!}{\prod_{j=1}^k(n+j)} =\cos(\theta_1y)+i\sin(\theta_2 y) $$

для неких $|\theta_1|<1$ и $|\theta_2|<1$?

Понятно что

$$ \dfrac{k!}{\prod_{j=1}^k(n+j)}<1, $$

но не соображу переход к $\cos(\theta_1y)$ и $\sin(\theta_2 y)$. Можно разбить сумму на две части: по четным $k$ и по нечетным, будут ряды похожие на $\cos$ и $\sin$ но не совсем.

Спасибо.

[RIP]

Надо для косинуса и синуса выписать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

[ecartman]

да, действительно, все просто.
спасибо