Диагонализация эрмитовых матриц

[oldkma]

Можете дать совет , как доказать, что две эрмитовы матрици можно одновременно диагонализировать( то есть одной и той же матрицей) если они комутируют?

[espe]

Если две матрицы коммутируют, то у них общая система собственных векторов. Можно перейти к базису состоящему из собственных векторов и в этом базисе обе матрицы будут диагональны.

[мат-ламер]

.

[oldkma]

понял, но из чего следует что у коммутирующих матриц одинаковые собственные вектора?

[espe]

Примерно так.

Пусть $x$ собственный вектор матрицы $A$, соответствующий собственному значению $\lambda$: $Ax=\lambda x$. Вектор $Bx$ будет также принадлежать собственному значению $\lambda$ матрицы $A$: $ABx=BAx=\lambda Bx$. Следовательно вектор $Bx$ пропорционален $x$, $Bx=\lambda'x$, т.е. вектор $x$ также является собственным вектором матрицы $B$.

[provincialka]

А разве одному $\lambda$ соответствует один соб. вектор? Собст. значение может быть и кратным.

[espe]

Именно поэтому я и написал, что примерно так.

В случае кратного собственного значения $\lambda$ имеем несколько собственных векторов $x_i$ принадлежащим этому собственному значению. Далее $Bx_i=b_{ij}x_j$, где $b_{ij}$ некоторые числа и по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование. Матрицу $b_{ij}$ можно диагонализовать, выбрав в качестве собственных векторов матрицы $A$ принадлежащих $\lambda$ другие векторы $y_i=c_{ij}x_j$, такие что $Ay_i=\lambda y_i$ и $By_i=\lambda'_iy_i$ (в последнем равенстве суммы по $i$ нет).