Неравенство Коши-Буняковского: когда выполняется равенство

[accord]

Помогите разобраться, почему знак равенства в неравенстве может быть лишь тогда, когда вектора линейно зависимы??
$(x,y)^2\le(x,x)(y,y)$

[Brukvalub]

Рассмотрим выражение

\[0 \le (x - ty,x - ty) = (x,x) - 2t(x,y) + t^2 (y,y)\]

. Оно является неотрицательным квадратным трехчленом относительно переменной

\[t\]

, поэтому его дискриминант неположителен:

\[\frac{D}{4} = (x,y)^2 - (x,x)(y,y) \le 0\]

. Этот дискриминант равен 0 тогда и только тогда, когда существует значение

\[t\]

, обращающее в 0 кв. трехчлен, что равносильно линейной зависимости векторов.
P.S.RIP справедливо указал мне, что все вышесказанное верно только при

\[y \ne 0\]

, а случай

\[y = 0\]

тривиально разбирается отдельно

[accord]

спасибо большое за ответ, а не могли бы пояснить, что нужно разбирать при у=0?

[RIP]

В случае, когда $y=0$, линейная зависимость проверяется по определению линейной зависимости.

[Brukvalub]

Нулевой вектор превращает неравенство в равенство и линейно зависим с любым другим вектором.