Система уравнений

[Limit79]

Есть такая система уравнений:

$\left\{\begin{matrix} x^2y^2+2xy=3\\ (x+y)^2=x+y \end{matrix}\right.$

Напрашивается замена: $a=x+y$ и $b=xy$, но таким способом решение получается довольно большое.

Возможно, кто-нибудь увидит лучший способ

Заранее спасибо за ответы!

[ewert]

Limit79 в сообщении #775982 писал(а):

но таким способом решение получается довольно большое.

Чего там большое -- всего четыре варианта, из которых два отпадают, а два придётся решить честно. Ну разве что при разборе этих вариантов можно немножко сэкономить, воспользовавшись теоремой Виета.

[gris]

Второе уравнение разбивает систему на совокупность двух систем, одна из которых сводится к простенькому биквадратному уравнению .

[Limit79]

gris
Так это же то же самое, но, имхо, замена лучше, так как если делать без замены, то одно из уравнений получается четвертой степени, которое имеет только иррациональные корни.

[gris]

А с заменой Вы получите рациональные?
Да, то же самое. Просто когда нет бумаги под рукой проще решать рассуждением.
Из второго уравнения следует, что икс и игрек могут быть противоположны. В первом сразу получается квадратное уравнение для икс квадрат с корнями минус один и три. Опа! Два решения в кармане. плюс минус корень из трех и он же минус плюс. Далее сумма один, а произведение минус три и один. Один отвергаем по неравенстве СГСА, а минус три даёт ещё пару решений. Половина от один плюс-минус корень из тринадцати и то же с минус-плюс.

[Limit79]

gris
Я так в уме не могу

-- 16.10.2013, 20:10 --

ewert
gris
Спасибо за помощь, господа!