2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Диффур второго порядка
Сообщение15.10.2013, 22:22 
$(t^2+1)x''+x-1=0$
Предыдущее задание изменено, вместо третьей производной - вторая. Но решить по-прежнему не могу :-(

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение15.10.2013, 22:25 
Почему не можете решить? До куда дошли в решении?

Судя по этому, решение в элементарных функциях не выражается.

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение16.10.2013, 01:27 
Limit79 в сообщении #775685 писал(а):
Почему не можете решить? До куда дошли в решении?



Честно говоря, даже не знаю, с какой стороны к нему приступать. Искала в справочнике Зайцева и Полянина, Камке - не помогло.
На уравнение Чебышева смахивает, но...

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение16.10.2013, 01:30 
sum_feature
Перенесите минус единицу вправо, разделите обе части уравнения на $t^2+1$. Ничего не напоминает? Не, не оно :facepalm:

-- 16.10.2013, 02:57 --

Я могу ошибаться, но, если проделать действия, описанные мной выше, то получится ЛНДУ второго порядка с переменными коэффициентами.

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение16.10.2013, 02:37 
$\[({t^2} + 1)x'' + x - 1 = 0\]$
Ну это уже по проще. Сначала решайте однородное

$\[({t^2} + 1)x'' + x = 0\]$

Делаете замену $\[\xi  = \frac{1}{2}(1 - it)\]$

$\[\frac{{{d^2}x}}{{d{\xi ^2}}} =  - 4\frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}}\]$

Отсюда имеете $\[\xi (1 - \xi )\frac{{{d^2}y}}{{d{\xi ^2}}} - y(\xi ) = 0\]$

А это ни что иное как гипергеометрическое уравнение. Его решения известны, ну а частное решение неоднородного уравнение x=1. Осталось лишь выразить всё обратно через t и вуаля.

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение16.10.2013, 15:21 
Тут же угадывается частное решение $x = 1$. А дальше по формуле Лиувилля-Остроградского

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение16.10.2013, 16:24 
CptPwnage в сообщении #775907 писал(а):
А дальше по формуле Лиувилля-Остроградского

Этого не может быть потому, что этого не может быть никогда. Формула Лиувилля-Остроградского -- она для кого?...

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение16.10.2013, 22:15 
Для линейных, точно, извиняюсь

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение16.10.2013, 22:49 

(Оффтоп)

CptPwnage в сообщении #776138 писал(а):
Для линейных, точно, извиняюсь

Ну тогда уж извинитесь ещё раз. Для не просто линейных, а. (есть же вполне устоявшаяся терминология)

 
 
 
 Re: Диффур второго порядка
Сообщение16.10.2013, 22:52 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Можно подумать, исходное уравнение не линейное!

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group