Линейное неоднородное ДУ - смущает греча

[NeBotan]

Добрый день.

Решил такое ДУ $y'''+4y''+4y' = 4x^3+2x+1$

Однородное уравнение решил, все в порядке, а вот с неоднородным вышла хрень.

Я искал частное решение неоднородного уравнения в виде $y(x) = A +Bx +Cx^2 +Dx^3$, т.к. максимальная степень в правой части 3. Но в ответе у меня коэффициент D =0, и максимальный член $Cx^2$. Это правильно или из-за того, что один из корней имеет кратность равную 2, надо искать частное решение в виде $y(x) = A +Bx +Cx^2 +Dx^3+Ex^4$ ?

Заранее спасибо за ответ.

[espe]

NeBotan в сообщении #775488 писал(а):

надо искать частное решение в виде $y(x) = A +Bx +Cx^2 +Dx^3+Ex^4$

потому что в уравнение не входит $y$ без производной.

[gris]

Не один из корней, а именно ноль. И почему?
И имеет он кратность 1.
Так что частное решение будет иметь почти такой же вид, как приведённый в самом конце (один из коэффициентов равен нулю).

[NeBotan]

gris в сообщении #775494 писал(а):

Не один из корней, а именно ноль. И почему?
И имеет он кратность 1.

А корень $\lambda = -2$ разве не имеет кратность 2?

-- Вт окт 15, 2013 17:17:36 --

espe - спасибо большое за ответ. у меня было сомнение именно по этому поводу.

[iifat]

NeBotan в сообщении #775488 писал(а):

частное решение в виде $y(x) = A +Bx +Cx^2 +Dx^3+Ex^4$ ?

$y(x) = x(A +Bx +Cx^2 +Dx^3)$. Поскольку множитель $e^{kx}$ имеет коэффициент $k=0$, являющийся корнем характеристического уравнения кратности 1. Кратность других корней на решение не влияет.

[NeBotan]

iifat, но тогда у меня получается очень странный ответ примера. у меня частное решение имеет максимальную степень 2 , а в исходном уравнении максимальная степень - 3. Как это тогда объяснить?

[iifat]

Именно так. Почитайте ещё раз уравнения с постоянными коэффициентами. Если коэффициент $k$ множителя $e^{kx}$ является корнем характеристического уравнения кратности $m$, частное решение получает множитель $x^m$

[NeBotan]

iifat - тогда получается, что раз у меня корень кратности 2, то частное решение я должен искать в виде $y(x)=F+Dx+Cx^2$ ?

-- Вт окт 15, 2013 21:18:00 --

или я равняюсь на максимальную степень, но потом умножаю все на этот множитель? то есть $y(x)=(A+Bx+Cx^2) \cdot x^2$

[Otta]

NeBotan в сообщении #775608 писал(а):

iifat - тогда получается, что раз у меня корень кратности 2, то частное решение я должен искать в виде $y(x)=F+Dx+Cx^2$ ?
или я равняюсь на максимальную степень, но потом умножаю все на этот множитель? то есть $y(x)=(A+Bx+Cx^2) \cdot x^2$

Вот и ни то, ни другое. Послушайте iifat, возьмите Филиппова хотя бы, прочитайте линейные уравнения со специальной правой частью. Внимательно.
Ответ уже был выше:

iifat в сообщении #775505 писал(а):

$y(x) = x(A +Bx +Cx^2 +Dx^3)$. Поскольку множитель $e^{kx}$ имеет коэффициент $k=0$, являющийся корнем характеристического уравнения кратности 1. Кратность других корней на решение не влияет.

Или Вы ждете другого?

[NeBotan]

Блин, я х в ответе iifat-а не заметил(.

Спасибо большое, что в очередной раз открыли мне глаза.

[mihailm]

(Оффтоп)

В сообщениях все понятно, но почему в заголовке ТС смущается гречей?
И чем она его смущает?

[NeBotan]

mihailm в сообщении #775722 писал(а):

(Оффтоп)

В сообщениях все понятно, но почему в заголовке ТС смущается гречей?
И чем она его смущает?

Это из КВН. Ролик "греча с сосисой". Поищи на Ютубе. Друзья недавно показали, после того, как я сказал, что не понимаю один нюанс в задаче. И в итоге выражение сомнения свелось к фразе "но меня смущает греча".