Индуцирование представлений: определение и зачем это всё

[Chernoknizhnik]

Доброго всем здоровья!
Что-то я торможу с определением индуцированного представления. У Серра ("Линейные представления конечных групп") написано почти так:
Пусть $H\subset G$ - вложенные группы, $W\subset V$ - векторные пространства (пусть над $\mathbb{C}$) и заданы представления (т.е. действия групп линейными автоморфизмами) $H\rightarrow GL(W)$ и $G\rightarrow GL(V)$; тогда говорят, что представление $V$ группы $G$ индуцировано представлением $W$ подгруппы $H$, если, во-первых, $V=\bigoplus_{s\in G/H}sW$ и, во-вторых, $W$ - подмодуль $V$, рассматриваемый как $\mathbb{C}[H]$-модуль.

Вот тут я не понимаю, что имеется в виду: либо в определении "говорится", что на $V$ предполагается наличие структуры $\mathbb{C}[H]$-модуля, т.е. действия $H$, либо как-то подразумевается, что эту структуру можно мгновенно получить...
(Но ведь вовсе не очевидно, что есть какое-то действие $H$ на $V$)?
Ну, я прав?
И вопрос к знатокам: зачем нужно индуцированное представление? Чтобы брать и доказывать, что какое-то представление индуцировано каким-то там более простым и можно было его характер считать? Или еще зачем-то?

[apriv]

Chernoknizhnik в сообщении #775286 писал(а):

(Но ведь вовсе не очевидно, что есть какое-то действие $H$ на $V$)?

Совершенно очевидно: раз $G$ действует на $V$, то и $H$, будучи подгруппой $G$, действует на $V$.

Цитата:

И вопрос к знатокам: зачем нужно индуцированное представление?

Для построения (новых) представлений большой группы из представлений маленькой группы.

[Chernoknizhnik]

Да, конечно, очевидно. Но раз $H$ действует на $W$, то зачем подчеркивать, что $W$ - $\mathbb{C}[H]$-подмодуль $V$? Это ведь само собой?

[apriv]

С чего бы это? Если дано лишь, что $G$ действует на $V$, а $H$ действует на $W$, то эти действия могут быть вообще никак не связаны друг с другом.

[Chernoknizhnik]

Да, понял, т.е. они согласованы.
А Вы бы не могли привести очень естественный и простой пример индуцирования?

[apriv]

Ну, можно взять какое-нибудь одноименное представление подгруппы и получить мономиальное представление группы. Вообще, все хорошие свойства индуцирования происходят из того, что это левый сопряженный функтор к ограничению; так на это и нужно смотреть.