Вывести табличный интеграл

[Fantast2154]

Добрый день. Помогите получить вывод табличного интеграла

$\int \frac {dx} {\sqrt{1+x^2}}$

Должно как-то получиться

$\frac {1} {2}\cdot \ln(x + \sqrt{x^2+1})$

[mihailm]

Замена икса на гиперболический синус

[ewert]

Наиболее тупой способ: сделать подстановку $x=\tg t$, затем внести косинус под знак дифференциала и разложить дробь на простейшие. Ну и наконец формально выразить синус через тангенс.

-- Пн окт 14, 2013 10:04:42 --

mihailm в сообщении #774919 писал(а):

Замена икса на гиперболический синус

Тут небольшая проблема: надо знать формальное выражение для гиперболического арксинуса, что не всем дадено.

[SpBTimes]

А одна вторая откуда?

[ewert]

SpBTimes в сообщении #774926 писал(а):

А одна вторая откуда?

$\frac1{1-s^2}=\frac12\ldots$

[provincialka]

Можно как диф. бином, то есть взять замену $1+\frac{1}{x^2}=t^2$.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #774946 писал(а):

Можно как диф. бином, то есть взять замену $1+\frac{1}{x^2}=t^2$.

можно, но это, к сожалению, тоже замена из второго ряда -- её даже и не всем дают и, что главное, её надо запоминать

[provincialka]

Ну, в общем виде может, и не дают, но отдельные примеры "на догадку" есть. Кроме того, "всем" не надо выводить табличный интеграл, достаточно посмотреть в таблице. В крайнем случае - проверить дифференцированием.

[ewert]

provincialka в сообщении #774951 писал(а):

Кроме того, "всем" не надо выводить табличный интеграл, достаточно посмотреть в таблице.

Конкретно этот интеграл вполне можно предложить именно "всем", и именно вывести: он, с одной стороны, крайне важен сам по себе, а с другой -- тот план, который я набрасывал, состоит лишь из абсолютно стандартных шагов, причём напрашивающихся.

[Sender]

Ещё одна напрашивающаяся замена: $t=x+\sqrt{x^2+1}.$

[mihailm]

ewert в сообщении #774920 писал(а):

...

mihailm в сообщении #774919 писал(а):

Замена икса на гиперболический синус

Тут небольшая проблема: надо знать формальное выражение для гиперболического арксинуса, что не всем дадено.

По мне гиперболическая замена лучше, она идейная, и дается в теме замена после тригонометрической замены.
Конечно не дадена - именно в этом месте я обычно и вводил гиперболические функции)
На школьниках тоже проверял - работает.

[ewert]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #775016 писал(а):

именно в этом месте я обычно и вводил гиперболические функции)

Это уже и поздновато, и некстати. Я обычно, читая линейную алгебру, всегда посвящал им отдельный параграф в разделе про комплексные числа. Правда, до обратных функций не доходил (это уместно уже скорее в ТФКП), но базу, во всяком случае, закладывал, а дальше уже дело техники.

Однако в этот год читаю, наоборот, анализ (в порядке исключения), так что даже пока и не знаю, как буду выкручиваться (напарницу по АГ пока руки не дошли спросить, что она намеревается; впрочем, пока ещё и не горит; "довлеет дневи злоба его", как некогда принято было говаривать, если не переврал отдельные буковки).

[provincialka]

Я на первых занятиях матана даю повторение, строим эскизы графиков функций. Тут и "подсовываю" им гиперболические, выводим некоторые свойства.

Кстати, студенты из "продвинутых" школ знают эти функции, они научили меня названиям "шинус" и "чосинус", но я все мне могу к ним привыкнуть.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #775231 писал(а):

но я все мне могу к ним привыкнуть.

и не надо ни в коем случае привыкать; это "не мобильно", как говорят на программистском жаргоне

[provincialka]

ewert в сообщении #775241 писал(а):

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #775231 писал(а):

но я все мне могу к ним привыкнуть.

и не надо ни в коем случае привыкать; это "не мобильно", как говорят на программистском жаргоне

(Оффтоп)

А что значит "не мобильно"? Не знаю программистского жаргона.