Исследовать последовательность на ограниченность

[Twidobik]

Нужно исследовать последовательность на ограниченность и найти минимальный и максимальный член, если это возможно

${a_n} = \frac{{200 - 3n}}{{101 - 2n}}$

Это легкое задание поставило меня в тупик.
По сути, решать надо бы, исходя из определения ограниченной последовательности, но в лоб решить

$\frac{{200 - 3n}}{{101 - 2n}} < M$

или доказать отсутствие такого $M$ для любых $n$ я не могу.
Даже доказать, что последовательность не бесконечно большая у меня не получилась, так как опровергнуть вот это

$\left| {\frac{{200 - 3n}}{{101 - 2n}}} \right| > A$

тоже мозгов не хватает.
Единственное, что я смог увидеть, это то, что при $n = 51$ член последовательности будет равен
$-47$ и этот член наименьший.

Подскажите пожалуйста, как верно и грамотно решить данное задание?

[provincialka]

Попробуйте вычесть из $a_n$ число $\frac32$.

[gefest_md]

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена. (Представьте себе "геометрически" сходящуюся последовательность)

[Twidobik]

provincialka, из этого мы получим дробь $\frac{{97}}{{202 + 4n}}$, которая бесконечно мала, откуда заключим, что $\frac{3}{2}$ есть предел. Значит, верхней гранью являются все числа, большие либо равные $\frac{3}{2}$. Верно? А как быть с нижней гранью?

[provincialka]

Нет, не так. Предельное значение - это одно, а границы - другое. После вычитания получим дробь, в которой $n$ есть только в знаменателе. Это упрощает исследование на монотонность.
Как ведет себя дробь? Где имеет разрыв? Где возрастает? Где убывает?

-- 13.10.2013, 20:10 --

У вас там знак перепутан.

[Twidobik]

Да, знак перепутал. Дробь $\frac{{97}}{{202 - 4n}}$ имеет разрыв в $n = - 50.5$. Если $n$ больше этого числа, дробь положительна, меньше - отрицательна. Фактически, все сводится к исследованию последовательности как функции?

[provincialka]

Да, конечно. Я, например, всегда предел функции рассказываю до предела последовательности.