Подтолкните к осознанию. Функциональный анализ.

[samson4747]

Доброго времени суток, Уважаемые форумчане!

Вопрос $\mathbf{1}^\circ$.

Почему для систем множеств $A_n$, $n\in\mathbb N$ и меры $\mu$ заданной на кольце $\mathcal S$. Верны следующие утверждения?
(это промежуточная выкладка, доказывал чуть другое неравенство, этот последний шаг для вывода того чего хочу, правда мне не ясно как его обосновать)

$$a)\,\lim\limits_{k\to\infty}\mu(\bigcap\limits_{n\geqslant k}A_n)\leqslant\liminf\limits_{k\to\infty}\mu(A_k)\qquad\text{и}\qquad b)\,\lim\limits_{k\to\infty}\mu(\bigcup\limits_{n\geqslant k}A_n)\geqslant\limsup\limits_{k\to\infty}\mu(A_k);$$

Вопрос $\mathbf{2}^\circ$.

Работаю над вопросом полноты одного специфического пространства.
Хочу для доказательства полноты привлечь известный факт из функционального анализа:

Лемма.

Для нормированного пространства $\bigl(X,\,\|\cdot\|\bigr)$, полнота $X$ равносильна, следующему утверждению:

$$\forall\,x_1,\,x_2,\,\dots\in X\ \bigl|\ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\|x_n\|<\infty\text{ выполняется }\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x_n<\infty.$$

Необходимость вспомнил, как доказать, а вот для достаточности не хватает воспоминаний.
Взял произвольную последовательность Коши $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$, и выделил подпоследовательность $\{y_{n_k}\}_{k\in\mathb N}$, такую что $\|y_n-y_{n_k}\|\leqslant\dfrac{1}{2^k}$, осталось показать, что она сходится и из этого получить сходимость $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$, ну, а потом показать что предельная функция тоже из $X$. Проблема в том, что не вижу что даёт нам сходимость рядов из элементов и их норм, поэтому не вижу как доказать сходимость $\{y_{n_k}\}_{k\in\mathb N}$.

Благодарю за советы!!!

[Oleg Zubelevich]

samson4747 в сообщении #774228 писал(а):

Для нормированного пространства $\bigl(X,\,\|\cdot\|\bigr)$, полнота $X$ равносильна, следующему утверждению:

$$\forall\,x_1,\,x_2,\,\dots\in X\ \bigl|\ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\|x_n\|<\infty\text{ выполняется }\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x_n<\infty.$$

вообще непонятно, что написано: например, что значит в последней сумме $<\infty$?

[samson4747]

Сходимость ряда.
Если $\forall\,x_1,\,x_2,\,\dots\in X\ \bigl|\ \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\|x_n\|<\infty$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x_n$ сходится.

[Oleg Zubelevich]

Т.е. для полноты пространства достаточно, что бы из сходимости норм следовала сходимость самого ряда. Сомнительно что-то. Есть много рядов, которые являются сходящимися, но не абсолютно сходящимися.

[samson4747]

[Oleg Zubelevich]

Видимо надо действовать так. Доказывать будем достаточность. Рассмотрим пополнение пространства $X$, обозначим его $\tilde X$.
Пусть $X\ni x_n\to x$ в $\tilde X$. Выберем из $\{x_n\}$ такую подпоследовательность $\{x'_n\}$, что ряд $\sum (x'_{n+1}-x'_n)$ сходится абсолютно. Тогда по свойству (ii) предел этого ряда лежит в $X$, но этот предел и есть $x$. ЧТД

[samson4747]

Oleg Zubelevich в сообщении #774354 писал(а):

Видимо надо действовать так. Доказывать будем достаточность. Рассмотрим пополнение пространства $X$, обозначим его $\tilde X$.
Пусть $X\ni x_n\to x$ в $\tilde X$. Выберем из $\{x_n\}$ такую подпоследовательность $\{x'_n\}$, что ряд $\sum (x'_{n+1}-x'_n)$ сходится абсолютно. Тогда по свойству (ii) предел этого ряда лежит в $X$, но этот предел и есть $x$. ЧТД

Это хорошо, но чтобы не выходить так скажем за $X$, можем мы поработать только с последовательностями как предлагал в намётке доказательства?

samson4747 писал(а):

Взял произвольную последовательность Коши $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$, и выделил подпоследовательность $\{y_{n_k}\}_{k\in\mathb N}$, такую что $\|y_n-y_{n_k}\|\leqslant\dfrac{1}{2^k}$, осталось показать, что она сходится и из этого получить сходимость $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$, ну, а потом показать что предельная функция тоже из $X$. Проблема в том, что не вижу что даёт нам сходимость рядов из элементов и их норм, поэтому не вижу как доказать сходимость $\{y_{n_k}\}_{k\in\mathb N}$.

Например нам ясно, что вот такой ряд сходится $\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|y_n-y_{n_k}\|$. (признак сравнения)

[_hum_]

samson4747, это ж в любом учебнике по ФАН должно быть. А трюк там в том, чтобы представить $x_{n_k}$ как $x_{n_1} + \sum_{i=2}^k(x_{n_i} - x_{n_{i-1}})$.

[samson4747]

_hum_, подскажите пожалуйста такой учебник, в стандартных Колмогорове, Рудине, Эдвардсе или Люстернике не нашёл.

А как быть ещё с первым моим вопросом?

[_hum_]

samson4747 в сообщении #774402 писал(а):

_hum_, подскажите пожалуйста такой учебник, в стандартных Колмогорове, Рудине, Эдвардсе или Люстернике не нашёл.

У меня под руку первым попался
Антоневич А., Радыно Я.Функциональный анализ и интегральные уравнения.
параграф 26. Банаховы пространства.

samson4747 в сообщении #774402 писал(а):

А как быть ещё с первым моим вопросом
?

А что разве из того, что для всякого $k$

$$\bigcap\limits_{n\geqslant k}A_n\subset A_k$$

монотонности меры и свойств пределов это все сразу не вытекает?

[samson4747]

_hum_, Благодарю! Самое, что стыдное, что по этой книге, когда-то и изучал эту теорему
Точно точно точно, монотонность! Вы меня выручили. Со всем разобрался! Вопрос 1 закрыт, Вопрос второй буду пробовать применять на своё необычное пространство.

$$\color{brown}\boxed{\textbf{Спасибо,\color{black}{\_hum\_}}!}$$