Иррациональные числа в других системах счисления

[zm_sansan]

Т.к. иррациональные числа в десятичной системе счисления представляются в виде бесконечной непериодической дроби, то можно ли представить иррациональное число в виде бесконечной периодической дроби в другой системе счисления?
Просто смутило определение иррационального числа именно в десятичной системе счисления, как-то слишком локально, интересно что в других системах счисления происходит с иррациональными числами.

[migmit]

Определение "иррационального числа" не содержит никаких указаний на систему счисления. То, что оно "записывается непериодической дробью" — свойство, а не определение. И да, в любой "-ичной" системе счисления будет то же самое.

[zm_sansan]

Тогда какого определение иррационального числа, без использования десятичной системы счисления?

[Xaositect]

Рациональное число - это число, представимое в виде $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое, $n$ - положительное целое.
Иррациональное число - это действительное число, не являющееся рациональным.

[zm_sansan]

Это понятно. Вопрос такой: в любой ли системе счисления иррациональное число представляется в виде бесконечной непериодической дроби?

[Xaositect]

zm_sansan в сообщении #773008 писал(а):

Это понятно. Вопрос такой: в любой ли системе счисления иррациональное число представляется в виде бесконечной непериодической дроби?

Да.
Потому что если число в $p$-ичной системе представляется дробью $\overline{a.b(c)}$, то оно рационально ($a + \frac{b}{p^k} + \frac{c}{p^k(p^m-1)}$)

[Urnwestek]

Цитата:

Это понятно. Вопрос такой: в любой ли системе счисления иррациональное число представляется в виде бесконечной непериодической дроби?

Существуют не только позиционные системы счисления с натуральным основанием. Например, каждое вещественное число однозначно определяется коэффициентами, получающимися при разложении этого числа в непрерывную дробь. И числу $\sqrt{2}$ в этой системе соответствует непрерывная дробь $[1;2,2,2,2,...]$.

[mihailm]

Ну значит не в любой - успокоились?

[Neos]

Иррациональность является следствием "несоизмеримости" двух величин.
Число $\sqrt{2}$ является иррациональным, но геометрически
его можно представить как диагональ единичного квадрата. Взяв его за единицу
можно наложить новую числовую ось "на старую". И огромное число очень
"хороших" точек станут иррациональными. Вроде бы геометрически точка не
переместилась... а картина изменилась. Перебор систем счисления не "спасает" при анализе иррациональностей.

[zm_sansan]

Надеюсь, что так и есть)