Симпатичная задача. Нам потребуется тождество

Пусть

. Положим

,

.
Тогда для

индуктивно получим

.
Значит при условии

имеем

А значит для


Пусть заданы

и

. Можно считать, что

(иначе тривиально). Сначала по

и

подбираем "с запасом"

, а затем и

.
Пусть

. Легко видеть, что

. (с этим расчетом и выбирали

с запасом). В зависимости от величин

и

назначаем

и

и применяем полученные выше неравенства. (На всякий случай отмечу, что

)
Таким образом, мы доказали даже немножко больше. Не просто непрерывность, а еще и равномерную непрерывность на ограниченных по этой норме множествах.