Кривые второго порядка

[Limit79]

Определить, какая линия задана уравнением:

а) $y=3-5 \sqrt{x-1}$

б) $y=10+ \sqrt{64-x^2}$

Мои мысли:

а)
$y-3=-5 \sqrt{x-1}$

$(y-3)^2=25 (x+1)$

$(y-3)^2=2 \cdot \frac{25}{2} (x+1)$ - Каноническое уравнение параболы.

б)
$y=10+ \sqrt{64-x^2}$

$y-10= \sqrt{64-x^2}$

$(y-10)^2= 64-x^2$

$x^2+(y-10)^2= 8^2$ - Каноническое уравнение окружности.

Собственно, что смущает - в пункте а) для начального уравнения $x \geqslant 1$, а в каноническом уравнении - $x$ любое. Для второго пункта аналогично теряется ОДЗ.

Собственно, хотелось бы узнать: потеря ОДЗ в подобных задания -- это нормально? Или я что-то делаю не так?

Заранее спасибо за помощь!

-- 08.10.2013, 23:41 --

Грубо говоря: изначальное уравнение определяет часть параболы, и часть дуги окружности соответственно, а в конечном результате получается полная парабола и полная окружность.

[VAL]

Здесь дело не только в ОДЗ.
Возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести (и в Вашем случае приводит) к появлению посторонних решений (причем, именно для иксов входящих в ОДЗ).

Именно поэтому исходные уравнения задают полупараболу и полуокружность.

[Limit79]

VAL
Понял. Спасибо за помощь!

[Алексей К.]

Limit79 в сообщении #772737 писал(а):

$x^2+(y-10)^2= 8^2$ - Каноническое уравнение окружности.

Насколько я помню, когда мне однажды захотелось уточнить термин "каноническое уравнение", и сопоставить его с моим толкованием, я полез в 5-томную математическую энциклопедию, и не сыскал его там.

У меня было два толкования: что-то исторически сложившееся, или что-то простейшее, с минимальным набором буковок (например, в специальной системе координат). Скорее всего, второе.

Так вот, полагаю, каноническое уравнение окружности --- это $x^2+y^2=R^2$.
А $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ --- уже не каноническое.
Мне так кажется.

А то ведь, например, параболу можно было бы не тольно сдвинуть, а ещё и наклонить --- и там уж точно ничего "канонического" не останется.

[Limit79]

Алексей К.

Сборник задач по высшей математике. 1 курc. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. и др 2008



А каноническое уравнение параболы, в этой же книге - $y^2=2px$, так что непонятно

[Otta]

Limit79 в сообщении #774038 писал(а):

А каноническое уравнение параболы, в этой же книге - $y^2=2px$, так что непонятно

Канонический вид: уничтожили смешанные произведения (поворот), затем убили линейную часть (сдвиг). В приведенном Вами уравнении окружности линейная часть, по факту, сохранилась, так что хорошие люди его обычно каноническим не считают. Хотя определять к.у. никто не запретит как бог на душу положит.

Киньте пробный камушек: если те же авторы каноническим уравнением эллипса называют все-таки $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, а не $\dfrac{(x-A)^2}{a^2}+\dfrac{(y-B)^2}{b^2}=1$ (а что-то мне подсказывает, что так оно и есть), то и окружность, как частный случай, ничем не лучше.

[provincialka]

Если это (с $a,b$) - канонический вид, то что тогда неканонический? Когда полные квадраты не выделены?

[Алексей К.]

Limit79,

думаю, достаточен вывод о нечёткости этого понятия.

Лично я просто стараюсь не писать лишних слов:
$x^2+(y-10)^2= 8^2$ - Каноническое уравнение окружности.

-- 12 окт 2013, 12:00:59 --

provincialka в сообщении #774074 писал(а):

то что тогда неканонический

Ещё вариант: неканоническим авторы той книжки, возможно, считают уравнение с конкретными цифирьками вместо $(a,b,R)$.