Эквивалентность несчётных множеств

[lulbec]

Добрый вечер. Хочу попросить помощи в решении этого задания:
докажите, что $\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \sim \mathbb{N}^{\mathbb{R}} \sim P(\mathbb{R})$
Что тут нужно сделать, как преобразовать? Например, $P(\mathbb{R})$ - это $2^{\mathbb{R}}$, ну и что?

[Urnwestek]

$\mathfrak{v}$ — счётное
$\mathfrak{c}$ — континуум

Из свойств кардинальной степени и равенства $2^\mathfrak{v}=\mathfrak{c}$ следует $\mathfrak{c}^{\mathfrak{c}} = 2^{\mathfrak{v}\mathfrak{c}} = 2^{\mathfrak{c}}$
Очевидно, что $ 2^{\mathfrak{c}} \leq \mathfrak{v}^{\mathfrak{c}} \leq \mathfrak{c}^{\mathfrak{c}}$
Ну а слева и справа мы знаем что будет, следовательно, знаем, что будет и по центру.

[lulbec]

А как доказать, что $2^\mathfrak{v}=\mathfrak{c}$?

[Neos]

Предполагается, что это доказал Кантор. (Формула из учебника, любого)
Либо повторите его доказательство.

[lulbec]

Спасибо, поищу.

-- 07.10.2013, 23:28 --

Вроде даже сам додумался. Только тогда другой вопрос: а $\mathfrak{v}^\mathfrak{v} \sim 2^\mathfrak{v}$?
Может я запутался? Существует $f:\mathfrak{v} \rightarrow \mathfrak{v}$ то $\mathfrak{v}^\mathfrak{v}$ - счётно, но это не так, потому что $2^\mathfrak{v} \sim \mathfrak{c}$
А почему не так? Я наверно путаю понятия

[lulbec]

Ой, бред написал! Уже понял!
$\mathfrak{c}=2^\mathfrak{v} \leq \mathfrak{v}^\mathfrak{v} \leq \mathfrac{c}^\mathfrak{v} = \mathfrak{c}$