Вероятность

[SpBTimes]

Задали такой вопрос, а ответа не знаю. Стало интересно (говорят, задача очень простая):
Пусть имеется абс. непрерывный случ. вектор $\eta = (x_1, x_2)$. Тогда его компоненты, очевидно, тоже абсолютно непрерывны. Рассмотрим сл. величину $\xi = Ax_1 + Bx_2$.
Вопрос такой: придумать такой сл. вектор $\eta$, чтобы его распределение было абсолютно непрерывным, а распределение $\xi$ не имело плотности при всех $A, B \neq 0$.

При фиксированных $A, B$ пример придумать легко, но как при всех? Может можно как-то с лестницей Кантора поиграть?

[--mS--]

SpBTimes в сообщении #771623 писал(а):

При фиксированных $A, B$ пример придумать легко

А можете показать этот пример?

[Otta]

А разве он есть?
Соответствующим линейным преобразованием плоскости отправить наш вектор в вектор, одна из компонент которого - $\xi$, получим опять же абсолютно непрерывный вектор, стало быть, $\xi$ абсолютно непрерывна.
Вроде все честно. (?)

PS Вот если бы в условии задачи ничего не говорилось про случайный вектор $\eta$, а только про абсолютную непрерывность компонент, то тогда было бы да. То есть при фиксированных коэффициентах на раз приводится пример, а при любых - надо посмотреть.

[SpBTimes]

--mS--
Я говорил про стандартный пример, когда, скажем, $\xi \sim N(0, 1)$, $N(0, 1) \sim \eta = -\xi$. Тогда $\eta + \xi = 0$ и распределение у этой суммы вырожденное, вроде бы так оно называется.
Но ведь и вектор будет иметь абсолютно непрерывное распределение с плотностью... А стоп, они ж зависимы. Тогда не будет, да?

А если просто знать, что компоненты абсолютно непрерывны?

[Otta]

SpBTimes в сообщении #771844 писал(а):

Тогда не будет, да?

Тогда не будет.

SpBTimes в сообщении #771844 писал(а):

А если просто знать, что компоненты абсолютно непрерывны?

Воот. Про что и речь.