Равномощность семейств подмножеств

[Manticore]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, что нужно исправить в моём решении.

(а) Докажите, что $P(A \cup B) \sim P(A)\times P(B)$, если пересечение $A$ и $B$ - пустое множество.
(б) Выведите отсюда, что $\mathbb{R} \sim \mathbb{R}\times \mathbb{R}$

Как я решал:
(а) 1) Разделим все элементы на 2 группы: те, которые принадлежат $A$ и не принадлежат $B$, будут обозначаться как $x$. Принадлежащие $B$, но не принадлежащие $A$ - как $y$
Возьмём произвольное подмножество $D=\{a_1, a_4, b_6, a_9,...\}$, оно представимо как $<x\cap D; y\cap D>$, получим упорядоченные пары вида $<x', y'>$
2)$ P(A)\times P(B)=\{<x',y'> | x' \in P(A), y' \in P(B)\}$

И вот здесь я не знаю, как оформить построение биекции. Вроде же очевидно - они абсолютно одинаковые.
Т.е. как мы можем получить $D$ из $P(A)\times P(B)$? Мы должны объединить $x'$ и $y'$. Как это оформить?
И хотя не знаю, верно ли сделал (а), напишу рассуждение для (б):
(б) Пусть $A$ - чётные натуральные числа ($\mathbb{N}_0$), $B$ - нечётные ($\mathbb{N}_1$), и пересечение $A$ и $B$ - пустое множество.
$P(A\cup B)=\{<x', y'>\}$
$P(A)\times P(B)=\{<x',y'>\}$
$P(\mathbb{N}) \sim \mathbb{R} \Rightarrow P(\mathbb{N}_0 \cup \mathbb{N}_1) \sim P(\mathbb{N}_0) \times P(\mathbb{N}_1)$ $\Leftrightarrow \mathbb{R} \sim \mathbb{R}\sim \mathbb{R}$
Думаю, что пункт (б) совсем неполный.

-- 06.10.2013, 17:59 --

Может, нужно ещё доказать, что $A \sim B \Rightarrow P(A) \sim P(B)$?

[arseniiv]

Manticore в сообщении #771540 писал(а):

Т.е. как мы можем получить $D$ из $P(A)\times P(B)$? Мы должны объединить $x'$ и $y'$. Как это оформить?

Например, так:

$$f = \{((X,Y),X\cup Y) \mid X\subset A, Y\subset B \}.$$

Или так:

$$f(X,Y) = X\cup Y,$$

всё едино. Ну, и перед этим написать ещё, откуда она и куда.

[Manticore]

arseniiv
Спасибо, допишу.