Нерелятивистское преобразование углов.

[1mperor]

Задача по теоретической механике.
Частица, летящая со скоростью $V$, распадается на две одинаковые частицы. Определить распределение по углу разлета распадных частиц (угол между направлениями вылета обеих частиц). Распад в системе центра масс изотропен, скорость распадных частиц в с.ц.м. равна $v$. В общем понятно, что делать. Пишу распределение в с.ц.м., потом пересчитываю угол. Но вот со вторым как раз проблема. Не могу углы выразить один через другой.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[DimaM]

Если $\theta'$ - угол в с.ц.м. между скоростью осколков и скоростью частицы, то в ЛСО углы будут:
$\tg\theta_1=v\sin\theta'/(V+v\cos\theta'),\; \tg\theta_2=v\sin\theta'/(V-v\cos\theta').$

[1mperor]

Всё это верно, да. Но не в этой задаче. У меня, по условию, распределение надо считать по углу между скоростями вылетающих частиц, а не между скоростью частицы и скоростью осколков.

[DimaM]

1mperor в сообщении #771476 писал(а):

У меня, по условию, распределение надо считать по углу между скоростями вылетающих частиц, а не между скоростью частицы и скоростью осколков.

У меня была мысль выразить угол между осколками через угол в с.ц.м. Хотя с тангенсами громоздко выйдет.

А если так попробовать:
скорость первой частицы ${\bf v}_1={\bf V}+{\bf v}$,
скорость второй частицы ${\bf v}_2={\bf V}-{\bf v}$.
Модули скоростей $v_1^2=V^2+v^2+2Vv\cos\theta',\; v_2^2=V^2+v^2-2Vv\cos\theta'$.
Угол между скоростями осколков:

$$\cos^2\theta=\frac{({\bf v}_1{\bf v}_2)^2}{v_1^2v_2^2}=\frac{\left(V^2-v^2\right)^2}{\left(V^2+v^2\right)^2-4V^2v^2\cos^2\theta'}.$$

Вероятность пропорциональна $\sin\theta'd\theta'=|d\cos\theta'|$.

[1mperor]

А можно ещё пояснить почему ${\bf v}_2={\bf V}-{\bf v}?$ Разве не так будет?

[DimaM]

1mperor в сообщении #771521 писал(а):

А можно ещё пояснить почему ${\bf v}_2={\bf V}-{\bf v}?$

В с.ц.м. у одного осколка скорость ${\bf v}$, у другого $-{\bf v}$. При переходе в ЛСО добавится по ${\bf V}$.

[1mperor]

Всё, понял, спасибо большое. Способ решения очень хороший.