Свойства евклидовой нормы

[dj100500]

Почему ($v(a)$ - евклидова норма)?

$$v(ab) = v(a) \rightarrow \exists b^{-1} $$

В другую сторону док-во очевидное, а в эту туплю.

[provincialka]

(Оффтоп)

Это что было? Недописано, что ли? Что такое $a,b,v$?

[Whitaker]

Делайте от противного.
Пусть $b$ необратим, тогда $a$ не делится на $ab$, т.е. существуют $q$ и $r$ такие, что $a=(ab)q+r$ причем $v(r)<v(ab)$. Но $r=a(1-bq)$, тогда $v(r)\geqslant v(a)$. Следовательно, $v(a)<v(ab)$. Противоречие.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

Цитата:

Это что было?

Неплохо, чтобы авторы подобных тем писали, где это всё происходит - в кольце, в евклидовом пространстве и т.д. А то я поначалу задумался о смысле обратного элемента в евклидовом пространстве.