Функция, непрерывная только в ноле

[Economist_228]

Задача: Найти функцию, непрерывную только в точке $х=0$.
Мысли: Видимо такой функции не существует, т.к. если она непрерывна в 0, то должна быть непрерывной и где-то рядом с ним.
Если функция определена только в ноле, то нет смысла говорить о пределах, то есть она определена в какой-то окрестности рядом.
Можно доказать, что функции не существует если взять и приближать х к нолю, и сказать, что когда-нибудь попадем в точку непрерывности, только как сделать это математически, не на пальцах?
Заранее всем спасибо))

[Otta]

Economist_228 в сообщении #771172 писал(а):

Видимо такой функции не существует, т.к. если она непрерывна в 0, то должна быть непрерывной и где-то рядом с ним.

Ничего она не должна. Много таких функций.
А функцию, которая везде определена и в каждой точке разрывна, Вы можете придумать?

[_Ivana]

Думаю, проще найти такую функцию, чем доказать, что ее не существует...

[Economist_228]

Otta в сообщении #771174 писал(а):

А функцию, которая везде определена и в каждой точке разрывна, Вы можете придумать?

функция Дирихле

[Otta]

Economist_228 в сообщении #771180 писал(а):

функция Дирихле

Чудесно. Вот и умножьте ее на что-нибудь симпатичное и непрерывное, так чтобы получился непрерывный в нуле (и только) результат.

[Economist_228]

Otta в сообщении #771182 писал(а):

Economist_228 в сообщении #771180 писал(а):

функция Дирихле

Чудесно. Вот и умножьте ее на что-нибудь симпатичное и непрерывное, так чтобы получился непрерывный в нуле (и только) результат.

Можно домножить на функцию у=х (впрочем как и на любую другую функцию, что стремится к нолю, когда х стремится к нолю), тогда предел новой функции в ноле (0) будет равен её значению там (0).

[Otta]

Правильно. Добавьте к этому обоснование, и готово.

[Economist_228]

Спасибо!