Квадраты корней

[Dave]

Дан многочлен $P(x)$. Постройте многочлен, корни которого являются квадратами корней $P(x)$, с соблюдением кратности.

[iifat]

Это что, подвох какой-то?

(Оффтоп)

$P(x)P(-x)$ с заменой $x^2$ на $x$

[Dave]

Нет, не подвох. А с кубами корней?

[iifat]

Ну, кроме муторного выражения симметрических функций кубов через элементарные что-то ничего в голову не лезет... Хотя...

(Оффтоп)

$P(x)P(\frac x{e_1})P(\frac x{e_2})$, где $e_1, e_2$ — кубические корни из $-1$, отличные от $1$, с последующей заменой $x^3$ на $x$

[Dave]

(Оффтоп)

Только почему из $-1$ а не из $1$? Да и проще умножать, чем делить; и вместо $x$ сразу написать $\sqrt[3] x$.

[iifat]

(Оффтоп)

Да, -1 — описка. И да, действительно, по-вашему проще.

[Dave]

Случай $n$-х степеней, а также другие нетривиальные обобщения рассмотрены в этой теме.