Функция не дифференцируемая на всюду плотном множестве

[Urnwestek]

Мне нужно доказать/опровергнуть следующее утверждение: если функция $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ не дифференцируема на некотором всюду плотном в $\mathbb{R}$ множестве $A$, то она не дифференцируема ни в одной точке.
Если это правда, то интересно более общее утверждение: если функция $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ дифференцируема в точке $x_0$ то она дифференцируема во всех точках некоторой окрестности $x_0$.

Попытка решения:
Пусть существует точка $x_0$ в которой функция дифференцируема. Это равносильно тому, что существует такая константа $c$, что выполняется $f(x_0+h) = f(x_0) + c h + o(h)$ при $h \rightarrow 0$ Так как множество $A$ всюду плотно выберем из него сходящуюся к $x_0$ последовательность $a_i$.
Для любого $i$ не существует константы c, такой, что $f(a_i+h) = f(a_i) + c h + o(h)$ при $h \rightarrow 0$

С другой же стороны такая константа существует для предела $x_0=\lim_{i \to \infty} a_i$.

И вот тут хочется увидеть противоречие. Ну или я просто повторил условие задачи другими словами, да. Прошу помощи.

[Xaositect]

Urnwestek в сообщении #770160 писал(а):

Если это правда, то интересно более общее утверждение: если функция $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ дифференцируема в точке $x_0$ то она дифференцируема во всех точках некоторой окрестности $x_0$.

Пример функции, дифференцируемой в точке, но не дифференцируемой в окрестности: $f(x) = \begin{cases}x^2, &x\in \mathbb{Q},\\0, &x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$
Можно даже сделать непрерывный пример, если домножить непрерывную нигде не дифференцируемую функцию на $x^2$.

[Urnwestek]

Цитата:

Пример функции, дифференцируемой в точке, но не дифференцируемой в окрестности

Действительно, хороший пример, спасибо. Теперь хотелось узнать бы тоже самое для непрерывных функций и ваш ответ

Цитата:

Можно даже сделать непрерывный пример, если домножить непрерывную нигде не дифференцируемую функцию на $x^2$.

мне совершенно непонятен. Из чего это следует? В каком направлении думать?

[Urnwestek]

Хотелось бы поправить формулировку:

Цитата:

функция $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ не дифференцируема на некотором всюду плотном в $\mathbb{R}$ множестве $A$

на более аккуратную:

Цитата:

функция $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ не дифференцируема в каждой точке всюду плотного в $\mathbb{R}$ множества $A$

[Otta]

Urnwestek
Это неверно. В качестве контрпримера годится функция Xaositectа. В роли множества $A=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

-- 04.10.2013, 00:49 --

Urnwestek в сообщении #770279 писал(а):

Теперь хотелось узнать бы тоже самое для непрерывных функций и ваш ответ

Цитата:

Цитата:

Можно даже сделать непрерывный пример, если домножить непрерывную нигде не дифференцируемую функцию на $x^2$.

мне совершенно непонятен. Из чего это следует? В каком направлении думать?

В направлении основных свойств непрерывных функций и определения производной. Даже не знаю, что тут может быть непонятно, после всего уже сказанного.

[Urnwestek]

Спасибо, разобрался.

(Оффтоп)

Цитата:

Это неверно. В качестве контрпримера годится функция Xaositectа. В роли множества $A=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

Спасибо, пост Xaositect я смог прочитать и без вашей помощи.

Цитата:

Даже не знаю, что тут может быть непонятно, после всего уже сказанного.

Для человека, уже когда-то думавшего над всем этим и работавшего с непрерывными функциями столько, что смог выработать подходящую для этого интуицию, вполне возможно. Только я не понимаю, зачем такому человеку подтрунивать менее опытных, но желающих в чём-то разобраться людей? Не уважаю совершенно.

[Otta]

(Оффтоп)

Urnwestek в сообщении #770550 писал(а):

Спасибо, пост Xaositect я смог прочитать и без вашей помощи.

Но не сделали выводов и задали очередной. На него я и отвечала. Не нужно было? тогда зачем задаете? а потом обижаетесь?
Причем обижаетесь на свое же восприятие ответа? Ваше восприятие - это Ваше, не мое. Я каким-то особым тоном и особым смыслом свой ответ не наделяла, полагая, что имею дело со взрослым человеком.
Извините, видимо, ошиблась.
Всего доброго.