Циклические группы и функция Эйлера

[JMH]

Требуется вывести $\displaystyle\sum_{m>0,m|n}\phi(m)=n$, где $\phi$ - функция Эйлера, из простейших свойств циклических групп.

По моему разумению, в терминах циклических групп формула читается так: сумма числа порождающих элементов всех подгрупп циклической группы равна её порядку. Подскажите пожалуйста, откуда это следует?

[nnosipov]

1) Каждый элемент группы порождает единственную подгруппу.
2) Подгруппы взаимно однозначно соответствуют делителям $m$ порядка $n$ группы.
3) Подгруппа порядка $m$ порождается в точности $\varphi(m)$ элементами.