Теорема Штольца

[Manticore]

Нужно доказать, что, если $ \lim\limits_{n \to \infty}=a$, то $ \lim\limits_{n \to \infty}\frac {a_1+...+a_n}{n}=a$, и нужно показать, что обратное неверно.
Доказательство по теореме Штольца. А что насчёт второго пункта? Я думал привести пример $a_n=(-1)^n$. Получается, что у самой последовательности предела нет, а $b_n$ сходится (к нулю?). Но тогда получается, что первый пункт тоже не всегда верен.
Либо ещё: $a_n=(n-1)^{-1}$
$a_n \to 0$, а у $b_n$ числитель - расходится, т.е. стремится к $\infty$, тогда как знаменатель - какое-то число, и получается, что $b_n \to \infty$. Но опять же, это доказывает совершенно не то.
В общем, не могу с этим разобраться.

[Otta]

Manticore в сообщении #769852 писал(а):

А что насчёт второго пункта? Я думал привести пример $a_n=(-1)^n$. Получается, что у самой последовательности предела нет, а $b_n$ сходится (к нулю?). Но тогда получается, что первый пункт тоже не всегда верен.

Хороший пример. Непонятно, почему Вы решили, что он опровергает первое утверждение. Убедитесь в существовании предела $b_n$. Да, он нулевой.

Manticore в сообщении #769852 писал(а):

и получается, что $b_n \to \infty$. Но опять же, это доказывает совершенно не то.

Приплыли. Только что Вы говорили, что из существования предела последовательности (у Вас здесь он равен нулю, так?), следует, что предел последовательности средних арифметических существует, причем такой же. А теперь мало того, что строите контрпримеры, так еще и не обращаете на это внимания. Обоснование

Manticore в сообщении #769852 писал(а):

$a_n \to 0$, а у $b_n$ числитель - расходится, т.е. стремится к $\infty$, тогда как знаменатель - какое-то число, и получается, что $b_n \to \infty$.

никуда не годится. Числитель хоть и расходится (нет фундаментальности), знаменатель не "какое-то число", он стремится к бесконечности, причем быстрее, чем числитель. Предел равен... чему бы Вы думали? "В лоб" для конкретной последовательности это не слишком тривиальная задача для первого курса, имхо, общее утверждение доказывается проще.

[Manticore]

Otta
Спасибо за ответ.
Тем не менее, я не могу понять, почему эта теорема неверна в обратную сторону. Т.е. вроде бы она работает.

[provincialka]

Как же работает, когда вы сами контрпример привели?!

[Manticore]

provincialka
Да, уже понял, что ерунду сказал - подумал, что примеры не годятся.
А как можно доказать общее утверждение? Всё сводится к тому, что у $a_n$ может просто не быть предела, или же могут быть какие-то другие условия?

[provincialka]

Какое "общее утверждение". В чем оно состоит?

[ewert]

Manticore в сообщении #770003 писал(а):

А как можно доказать общее утверждение?

Что значит "общее"? Вы же его не сформулировали.

Если Вас интересуют дополнительные ограничения, при которых верно и обратное -- пожалуйста: например, если дополнительно предположить монотонность последовательности. Тогда сходимость самой последовательности равносильна сходимости средних.

[Manticore]

ewert в сообщении #770009 писал(а):

Если Вас интересуют дополнительные ограничения, при которых верно и обратное -- пожалуйста: например, если дополнительно предположить монотонность последовательности. Тогда сходимость самой последовательности равносильна сходимости средних.

Да, вот это и хотел узнать. Спасибо.