существует ли символьное решение интеграла

[salang]

$\int_{0}^{\infty} \frac {\exp(-a x^2+b x)} {\sqrt{x}} dx$

[TelmanStud]

Вот что выдала Mathematica

Integrate[-Exp[-a (y^2 + b/(2 a))^2], {y, 0, +\[Infinity]}, 
 Assumptions -> {a > 0, b < 0}]

$-\frac{\pi \sqrt{-\frac{b}{a}} \left(I_{\frac{1}{4}}\left(\frac{b^2}{8 a}\right)+I_{-\frac{1}{4}}\left(\frac{b^2}{8 a}\right)\right)}{\left(4 \sqrt{2}\right) e^{\frac{b^2}{8 a}}}$
$I$- функция Бесселя

[salang]

Спасибо. Для положительных a и b (у меня они такие) это выражение справедливо ?

[TelmanStud]

salang в сообщении #769599 писал(а):

Спасибо. Для положительных a и b (у меня они такие) это выражение справедливо ?

ну то, что $a>0$ очевидно(интеграл расходится), а вот на счет $b$
придется повозиться

[Ms-dos4]

salang
Если у вас $\[ - a{x^2} - bx\]$, то интеграл будет сходится при a,b>0 и будет равен $\[\int\limits_0^\infty {\frac{{{e^{ - a{x^2} - bx}}}}{{\sqrt x }}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{b}{a}} {{\rm{e}}^{\frac{{{b^2}}}{{8a}}}}{{\mathop{\rm K}\nolimits} _{\frac{1}{4}}}(\frac{{{b^2}}}{{8a}})\]$. А то как вы написали $\[{ - a{x^2} + bx}\]$ при b>0, интеграл просто разойдётся.
P.S.$\[{{\mathop{\rm K}\nolimits} _n}(z)\]$ - модифицированная функция Бесселя второго рода

[salang]

теперь не понял, какое решение из двух правильное?

[Ms-dos4]

salang
На "взгляд" оба. Как вы видите у TelmanStud написаны условия a>0 и b<0. (Ну а что касается выражения - так вы просто учтите минус, который я написал у b уже в экспоненте и сменил условие на b>0 и сложите функции Бесселя). Просто второй вариант короче

[salang]

функцию BesselI легко аппроксимировать экспонентой, с BesselK все гораздно сложнее. Как изменится первый вариант для $\int_{0}^{\infty} \frac {\exp(-a x^2-b x)} {\sqrt{x}} dx$ ?

[Ms-dos4]

salang
Никак, у TelmanStud тоже стоят модифицированные функции Бесселя(только, кажется первого рода), просто он об этом умолчал.

[salang]

у меня как у TelmanStud не получилось: http://zalil.ru/34753253/2bf2bd18.524ce580/5.nb
В его примере подинтегральная функция отличается и перед экспонентой отрицательный знак (?).

[Ms-dos4]

salang
Что вы там навводили? Во первых экспонента пишется нет Exp(x) а Exp[x]. И вводить надо так

FullSimplify[Integrate[Exp[-a*x^2 - b*x]/Sqrt[x], {x, 0, Infinity}]]

Предположение здесь не нужно, система вам сама их озвучит.

[salang]

Две веритикальные черты $(\operatorname{Re} [a] \geqslant 0 && \operatorname{Re} [b] > 0) || \operatorname{Re} [a] > 0$ означает "или" ?
Как перейти в выходном выражении к BesselI вместо BesselK ?
http://zalil.ru/34754257/1fd87c78.524da100/5.nb

[arseniiv]

Да, || это или.

[Ms-dos4]

salang
Зачем вам переходить от BesselK к BesselI? Это всё равно модифицированные функции. Какая разница 1-й или 2-ой род? Ну если так надо, то, кажется, $\[{K_n}(z) = \frac{\pi }{2}\frac{{{I_{ - n}}(z) - {I_n}(z)}}{{\sin (nz)}}\]$

[salang]

в книге по спецфункциям написано, что $\[{K_n}(z) = \frac{\pi }{2}({{I_{ - n}}(z) - {I_n}(z)}){{\ctg (n\pi)}}\]$. А в ответе TelmanStud разность (?) функций Бесселя.

Ms-dos4 в сообщении #770288 писал(а):

Зачем вам переходить от BesselK к BesselI?

Замена нужна для дальнейшего интегрирования (как я понимаю это возможно только численно, но у меня не получилось). Т.к. у меня значение аргумента больше единицы, хочу заменить ${I_n}(z)$ на $\exp(z)$. Или просто заменить ${K_n}(z)$ на $\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2z}}\exp(-z)$ ?