Стиратель

[Ktina]

На доске написаны числа от 1 до 25. Стиратель имеет право за один ход стереть ровно три числа и записать вместо них сумму их кубов. Может ли последнее число, оставшееся на доске, равняться

а) $2013^3$
б) $2011^4$
?

[hippie]

Ответ: не может.

Последнее оставшееся число больше чем $16^{27} > 2011^4 > 2013^3.$

[Shadow]

для 2013 еще и по модулю 3 можно. $a^3 \equiv a \pmod 3$, значит сумма чисел по модулю 3 не менятеся. Как было $1 \pmod 3$ так и останется.

[Ktina]

hippie в сообщении #769330 писал(а):

Ответ: не может.

Последнее оставшееся число больше чем $16^{27} > 2011^4 > 2013^3.$

Интересный и, главное, нетривиальный подход к решению.
А у меня, по древней привычке, всё через арифмост.

[Aritaborian]

(Испуганным шёпотом) Ktina, а что такое арифмост?

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #769339 писал(а):

(Испуганным шёпотом) Ktina, а что такое арифмост?

Арифметика остатков

-- 30.09.2013, 13:35 --

Shadow в сообщении #769334 писал(а):

для 2013 еще и по модулю 3 можно. $a^3 \equiv a \pmod 3$, значит сумма чисел по модулю 3 не менятеся. Как было $1 \pmod 3$ так и останется.

Можно! А для $2011^4$ можно по модулю 9

[Утундрий]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #769343 писал(а):

Aritaborian в сообщении #769339 писал(а):

(Испуганным шёпотом) Ktina, а что такое арифмост?

Арифметика остатков

Етика-атковно...