Измеримость множеств в разных координатах

[V.Sikorski]

Как известно, гипотенуза прямоугольного треугольника вписанного в окружность несоизмерима с его сторонами. Т.е. не существует эталона длинны, с помощью которого можно было бы построить и катеты и гипотенузу этого треугольника.
С другой стороны, имея прямоугольный треугольник вписанный в окружность, можно задать эталон угла и соответственно аналог площади единичного квадрата (сектора единичного круга), ограниченного этим углом.

Можно ли задать такое множество, площадь которого в "угловых" эталонах измерима, а в эталонах "длинны" нет (или наоборот) ?

Иными словами, можно ли задать в декартовых координатах такое измеримое множество (фигуру), которое в полярных (цилиндрических, сферических), координатах неизмеримо (ну, или наоборот) ?

[provincialka]

Неудачная терминология. Слова "измеримое множество" имеют другой смысл. Наверное, вы имеете в виду, что площадь задается иррациональным числом при каком-то выборе эталона.

[V.Sikorski]

Я имел в виду именно меру.
Допустим, задана одна и та же мера на множестве $(x,y,z)$ (Декартовы координаты) и $(x,\varphi,z)$ (угловые), может ли существовать некое множество (например, фрактал какой-нибудь), которое измеримо в Декартовых координатах, но не измеримо в "угловых" (или наоборот) ?

Например, эта мера инвариантна относительно сдвигов, но не инварианта относительно вращений ?

[SpBTimes]

Это же зависит от ваших функций перехода. Однако замена координат обычно предполагается диффеоморфной. Ну а при гладком отображении мера Лебега, скажем, сохраняется.

[provincialka]

Опять путаница. В точном смысле слова "измеримость" и "мера" - разные понятия. И причем инвариантность?
Все-таки математики недаром придумали такую вещь, как обозначения. Попробуйте их использовать.

Пока я увидела следующее. Есть тело в трехмерном пространстве, имеющее меру (объем). При переходе к новым координатам тело не меняется. Мы можем теперь рассматривать криволинейные координаты снова как декартовы, тогда тело станет другим. И вы предполагаете, что оно может уже не иметь меры.

Схема такая? Если да, какую меру вы берете?