4-ускорение и преобразования Лоренца

[10110111]

По определению ЛЛ2, 4-ускорение - это производная 4-скорости по интервалу:

$$A^i=\frac{dU^i}{ds},$$

причём 4-скорость определяется как производная мировой точки по интервалу, давая такой результат:

$$U=\left(\frac1{\sqrt{1-v^2/c^2}},\frac{\vec v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right),$$

Я вычисляю 4-ускорение по определению (для $\vec v \uparrow\uparrow \vec e_1$):

$$\left(A^i\right)=\left(\frac{dU^i}{ds}\right)=\left(\frac{du^i}{c dt\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)=\left(\frac{vwc}{\left(c^2-v^2\right)^2},\frac{c^2w}{\left(c^2-v^2\right)^2},0,0\right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

где $w$ - ускорение с собственной СО.

Всё вроде бы ничего, и подстановка $v=0$ даёт $A^iA_i=-\frac{w^2}{c^4}$, согласующееся с ЛЛ2, но: ведь $\left(A^i\right)$ - вектор; казалось бы, при преобразовании Лоренца $L$ он должен преобразовываться как вектор, однако для перехода от собственной СО к некоторой инерциальной получается несколько иначе:

$$\left(A\right)^i=L\cdot \left(A_{com}^i\right)=\left(\frac{vw}{c^3\sqrt{1-v^2/c^2}},\frac{w}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}},0,0\right),$$

т.е. при преобразовании Лоренца вектора $A_{com}=\left(0,w/c^2,0,0\right)$ результат отличается от $(1)$ в $\frac{c^3}{\left(c^2-v^2\right)^{3/2}}$ раза.

В чём моя ошибка?

[Munin]

3-ускорение тоже по-разному выглядит в разных ИСО. Это в нерелятивистской физике мы могли полагаться, что ускорение в любой системе отсчёта одинаково (инвариант). В релятивистской оно есть всего лишь проекция 4-ускорения, и не меняется только в первом приближении.

Поэтому, во второй формуле у вас должно стоять, соответственно, не $w,$ а $w_{com}.$ Два выражения пропорциональны друг другу, и соответствуют соотношению между $w$ и $w_{com}.$ (Будьте осторожны, когда ускорение не коллинеарно скорости: тогда вектор ускорения при преобразовании Лоренца не только меняет длину, но и поворачивается, и приходится рассматривать два соотношения: между продольными и между поперечными составляющими ускорения.)

[10110111]

Munin
Спасибо огромное! Действительно, я даже не задумывался, что после преобразований 3-ускорение уже невалидно в том же виде, как было до преобразования. Наверно, искал бы ошибку ещё неделю, если бы не вы :)

[Munin]

В общем, обращайте внимание, величиной какого типа становится то, что в нерелятивистской физике простой вектор или скаляр. Истинных 4-скаляров не так уж много: интервал, масса, действие, заряд...