Делимость

[Shadow]

Доказать, что для любого нечетного m существует натуральное n, десятичная запись которого содержит только нечетные цифры, делящееся на m.

Задача для 8-го класса, мое доказательство кажется сложнее уровня 8-го класса. Может, есть более простое.

[Null]

Ну можно так: пишем 5,75,375 пока не получиться делимость на нужную степень 5. Так можно сделать так как 5 вариантов следующей цифры дают разные остатки.

А дальше из принципа Дирихле выводим что повторениями этого числа можно добиться делимости на остальную часть.

Задача уровня городской олимпиады. Школьники из мат класса решат.

[Shadow]

Shadow в сообщении #768223 писал(а):

Ну можно так: пишем 5,75,375 пока не получиться делимость на нужную степень 5

Да, но надо строго доказать, что можно: Для любого k существует к-значное число "a" с нечетыми цифрами, делящееся на $5^k$
По индукции для $k=1$ верно. Добавляем влево нечетную цифру "c"
$\\a=5^kn\\ c\cdot 10^k+a=c\cdot 10^k+5^kn=5^k(c\cdot 2^k+n)$
Понятно, что для любых $k,n$ существует подходящее $c \in \{{}1,3,5,7,9{\}}$, такое,что $c\cdot 2^k+n \equiv 0 \pmod 5$

Null в сообщении #768225 писал(а):

А дальше из принципа Дирихле

Да, Дирихле лучше...чем теорема Эйлера.

[vorvalm]

Неудачно составлено условие задачи или сделано специально?

Shadow в сообщении #768223 писал(а):

делящееся на m.

надо было поставить после

Shadow в сообщении #768223 писал(а):

существует натуральное n,

[Shadow]

vorvalm,
Доказать, что для любого нечетного m существует натуральное n, делящееся на m, десятичная запись которого содержит только нечетные цифры.
Так?
А у m или у n нечетные цифры? Если кто-то хочет запутатся, всегда успеет.

[vorvalm]

Задача-то вроде для школьников.
Причастный оборот , как правило, ставится после определяемого подлежащего.

[Shadow]

(Оффтоп)

Как видите, кто хотел понять - понял. И мне кажется, очень надо постараться, чтобы не понять.
А плохому водолазу это, как его....шноркель мешает.

[vorvalm]

(Оффтоп)

Я с водолазами не знаком, а вот с балетом имел дело...