Корректна ли следующая запись доказательства?

[Denis Russkih]

Продолжаю почитывать Зорича в свободное время.

Увидев правила де Моргана, я решил попробовать доказать одно из них, не подглядывая в учебник. :) Конкретно вот это:

$\mathsf{C}_M(A \cap B) = \mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB$

Сначала вообще не было никаких мыслей, затем постепенно родил вот это:

\parindent=0px$(x \in \mathsf{C}_M(A \cap B)) \Leftrightarrow ((x \in M) \wedge (x \notin (A \cap B))) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ((x \in M) \wedge ((x \notin A) \vee (x \notin B))) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (((x \in M) \wedge (x \notin A)) \vee ((x \in M) \wedge (x \notin B))) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ((x \in \mathsf{C}_MA) \vee (x \in \mathsf{C}_MB)) \Leftrightarrow (x \in (\mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB)) \Rightarrow \\ \Rightarrow (\mathsf{C}_M(A \cap B) = \mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB)$

Хотелось бы узнать, является ли правильным такое доказательство, и корректна ли его запись?..

В учебнике приведено доказательство для другого правила де Моргана (которое $\mathsf{C}_M(A \cup B) = \mathsf{C}_MA \cap \mathsf{C}_MB$ ), и оформлено там всё несколько иначе:

(развернуть)

Зорич писал(а):

$$C_M(A \cup B) = C_MA \cap C_MB \eqno(1)$$ $$C_M(A \cap B) = C_MA \cup C_MB \eqno(2)$$

Докажем, например, первое из этих равенств:

$$(x \in C_M(A \cup B)) \Rightarrow (x \notin (A \cup B)) \Rightarrow ((x \notin A) \wedge (x \notin B)) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow ((x \in C_MA) \wedge (x \in C_MB)) \Rightarrow (x \in (C_MA \cap C_MB))$$

Таким образом, установлено, что:

$$C_M(A \cup B) \subset (C_MA \cap C_MB) \eqno(3)$$

С другой стороны,

$$(x \in (C_MA \cap C_MB)) \Rightarrow ((x \in C_MA) \wedge (x \in C_MB)) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow ((x \notin A) \wedge (x \notin B)) \Rightarrow (x \notin (A \cup B)) \Rightarrow (x \in C_M(A \cup B))$$

т.е.

$$(C_MA \cap C_MB) \subset C_M(A \cup B) \eqno(4)$$

Из $\eqno(3)$ и $\eqno(4)$ следует $\eqno(1)$.

Но ведь так, как у меня, вроде бы тоже можно записать, разве нет?

И если всё сделано как надо, то можно ли запись как-то сократить, убрать лишние скобки?.. Скажем, вот так:

\parindent=0px$(x \in \mathsf{C}_M(A \cap B)) \Leftrightarrow (x \in M \wedge x \notin (A \cap B)) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x \in M \wedge (x \notin A \vee x \notin B)) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ((x \in M \wedge x \notin A) \vee (x \in M \wedge x \notin B)) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow ((x \in \mathsf{C}_MA) \vee (x \in \mathsf{C}_MB)) \Leftrightarrow (x \in (\mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB)) \Rightarrow \\ \Rightarrow (\mathsf{C}_M(A \cap B) = \mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB)$


Ну и заодно уж, хотелось бы узнать, как в $\TeX$ правильно изображать значок дополнения? :)
Зорич-то в своей книге вообще не заморачивается, пишет обычное $C$, например так: $C_MA$.
Но я выяснил, что существует специальный значок \complement, вот такой: $\complement_MA$, правда, он страшен как смерть. :)
Поэтому эстеты предпочитают изображать дополнение вот так:
$\mathsf{C}_MA$ или $A^\complement$ или $A^\mathsf{C}$
Какой же из этих вариантов правильнее?.. Или можно как Зорич, писать просто $C_M$?

[Xaositect]

Denis Russkih в сообщении #767762 писал(а):

Но ведь так, как у меня, вроде бы тоже можно записать, разве нет?

Все верно. У Зорича просто отдельно расписана цепочка следствий в одну и в другую сторону, у Вас написана цепочка эквивалентностей. Это одно и то же.

Denis Russkih в сообщении #767762 писал(а):

Ну и заодно уж, хотелось бы узнать, как в $\TeX$ правильно изображать значок дополнения? :)

А это вопрос личных предпочтений. На мой взгляд, правильно $M\setminus A$ :)

[arseniiv]

Denis Russkih в сообщении #767762 писал(а):

Какой же из этих вариантов правильнее?..

Любой оговоренный перед использованием, хотя вариант $M\setminus A$, вроде, сейчас повсеместен — его вряд ли нужно пояснять читателю.
Ещё иногда «связывают» $M$ определением $\bar X := M\setminus X$, если собираются что-то страшное многобуквенное делать с дополнениями.

[Xaositect]

arseniiv в сообщении #767771 писал(а):

Ещё иногда «связывают» $M$ определением $\bar X := M\setminus X$, если собираются что-то страшное многобуквенное делать с дополнениями.

Не, в топологии и во всем том, что ближе к топологии, чем к булевой алгебре (то есть практически везде), так не делают, потому что $\bar{X}$ --- это замыкание.

[ewert]

Denis Russkih в сообщении #767762 писал(а):

Или можно как Зорич, писать просто $C_M$?

Красиво жить не запретишь, но лучше, по-моему, просто чёрточку сверху, оговорив предварительно существование в рамках обсуждения некоего "генерального" (или как его там) множества. Чёрточка нагляднее, чем косой минус, тем более $C_M$: это уже всего лишь никому не нужное нагромождение буковок.

-- Ср сен 25, 2013 20:50:54 --

Xaositect в сообщении #767772 писал(а):

так не делают, потому что $\bar{X}$ --- это замыкание.

Ну так это ещё и комплексное сопряжение, а у кого-то даже и векторы; и что ж теперь -- застрелиться практически везде?...

[Someone]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #767772 писал(а):

в топологии и во всем том, что ближе к топологии, чем к булевой алгебре (то есть практически везде), так не делают, потому что $\bar{X}$ --- это замыкание

Я такое обозначение замыкания в литературе встречал довольно часто, но меня самогó с сáмого начала изучения топологии приучили обозначать замыкание подмножества $A$ топологического пространства $X$ как $[A]_X$. В книге Фрёлихера и Бухера "Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы" есть где-то ошибка в доказательстве важной теоремы, спровоцированная обозначением замыкания "чёрточкой".

[arseniiv]

ewert в сообщении #767776 писал(а):

Чёрточка нагляднее, чем косой минус

Вряд ли настолько же «нагляднее», насколько \setminus нагляднее $C_M$. Скорее, она лучше в случае дополнения. Если нужна именно разность, не писать же $M \cap \bar A$!

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #767799 писал(а):

Вряд ли настолько же «нагляднее», насколько \setminus нагляднее $C_M$.

В определённом смысле -- настолько же. Просто смотря где. Если объемлющее множество подразумевается (как, скажем, в ТВ), то писать его каждый раз перед минусом несколько утомительно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Тогда это как раз явно случай дополнения, а не вычитания.

[Denis Russkih]

Большое спасибо всем за ответы!

ewert в сообщении #767776 писал(а):

лучше, по-моему, просто чёрточку сверху, оговорив предварительно существование в рамках обсуждения некоего "генерального" (или как его там) множества

А можно подробнее, как именно это оговаривается? Просто словами? Или есть какая-то особая форма записи?

Меня ещё при чтении учебника смутил этот вопрос. Положим, у нас есть два доказательства внутри одного математического текста. Можно для каждого из доказательств использовать одну и ту же буковку $M$, или же для второго доказательства нужно искать другую букву?.. Или их надо нумеровать, как $M_1, M_2$ и т.д.?

Как я понимаю, это вот "генеральное" (или, может, "универсальное"?) множество служит как раз для такой цели, чтобы не плодить лишние обозначения? Или нет?

Кстати, по поводу универсального множества. Разве это понятие не содержит внутреннего противоречия?.. У Зорича ведь приводится обоснование того, что "множество всех множеств" не может существовать. Получается, это верно только для канторовской "наивной" теории множеств?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

$M\mathbin{\diagdown}A$

[Xaositect]

Denis Russkih в сообщении #767857 писал(а):

Кстати, по поводу универсального
множества. Разве это понятие не содержит внутреннего противоречия?.. У Зорича ведь приводится обоснование того, что "множество всех множеств" не может существовать. Получается, это верно только для канторовской "наивной" теории множеств?

Все так.

Но наивной теории множеств как правило хватает для большинства вещей в матанализе. Если мы возьмем какое-нибудь множество $M$ и будем называть множествами только его подмножества, то все будет хорошо, и множества всех множеств не будет существовать, потому что оно не является подмножеством $M$. Для матанализа почти везде хватает $M = \mathbb{R}\cup P\mathbb{R} \cup PP\mathbb{R} \cup \dots \cup PPPPPPPPP\mathbb{R}$ (этого хватит, чтобы выразить пониятие "последовательность функций $k$ переменных")

[ex-math]

Denis Russkih
Я бы советовал Вам все же сменить учебник на, скажем, Фихтенгольца. Как я понимаю, Вы ищете не тотальной строгости изложения, а стараетесь уловить суть анализа. Для этой задачи, учитывая Ваше развитое воображение, лучше подойдут старые курсы анализа. Можно еще попробовать "Курс чистой математики" Харди.

[Someone]

Denis Russkih в сообщении #767857 писал(а):

Кстати, по поводу универсального
множества. Разве это понятие не содержит внутреннего противоречия?

Ну не надо искать универсальное множество в ZF или GB. Есть специальные теории множеств — с универсальным множеством. Там на возможность образования новых множеств наложены ограничения (http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_set).