2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 19:17 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Продолжаю почитывать Зорича в свободное время.

Увидев правила де Моргана, я решил попробовать доказать одно из них, не подглядывая в учебник. :) Конкретно вот это:

$\mathsf{C}_M(A \cap B) = \mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB$

Сначала вообще не было никаких мыслей, затем постепенно родил вот это:

\parindent=0px$(x \in \mathsf{C}_M(A \cap B)) \Leftrightarrow ((x \in M) \wedge (x \notin (A \cap B))) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in M) \wedge ((x \notin A) \vee (x \notin B))) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (((x \in M) \wedge (x \notin A)) \vee ((x \in M) \wedge (x \notin B))) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in \mathsf{C}_MA) \vee (x \in \mathsf{C}_MB)) \Leftrightarrow (x \in (\mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB)) \Rightarrow \\
\Rightarrow (\mathsf{C}_M(A \cap B) = \mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB)$

Хотелось бы узнать, является ли правильным такое доказательство, и корректна ли его запись?..

В учебнике приведено доказательство для другого правила де Моргана (которое $\mathsf{C}_M(A \cup B) = \mathsf{C}_MA \cap \mathsf{C}_MB$ ), и оформлено там всё несколько иначе:

(развернуть)

Зорич писал(а):
$$C_M(A \cup B) = C_MA \cap C_MB \eqno(1)$$
$$C_M(A \cap B) = C_MA \cup C_MB \eqno(2)$$
Докажем, например, первое из этих равенств:

$$(x \in C_M(A \cup B)) \Rightarrow (x \notin (A \cup B)) \Rightarrow ((x \notin A) \wedge (x \notin B)) \Rightarrow$$
$$\Rightarrow ((x \in C_MA) \wedge (x \in C_MB)) \Rightarrow (x \in (C_MA \cap C_MB))$$
Таким образом, установлено, что:

$$C_M(A \cup B) \subset (C_MA \cap C_MB) \eqno(3)$$
С другой стороны,

$$(x \in (C_MA \cap C_MB)) \Rightarrow ((x \in C_MA) \wedge (x \in C_MB)) \Rightarrow$$
$$\Rightarrow ((x \notin A) \wedge (x \notin B)) \Rightarrow (x \notin (A \cup B)) \Rightarrow (x \in C_M(A \cup B))$$
т.е.

$$(C_MA \cap C_MB) \subset C_M(A \cup B) \eqno(4)$$
Из $\eqno(3)$ и $\eqno(4)$ следует $\eqno(1)$.


Но ведь так, как у меня, вроде бы тоже можно записать, разве нет?

И если всё сделано как надо, то можно ли запись как-то сократить, убрать лишние скобки?.. Скажем, вот так:

\parindent=0px$(x \in \mathsf{C}_M(A \cap B)) \Leftrightarrow (x \in M \wedge x \notin (A \cap B)) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow (x \in M \wedge (x \notin A \vee x \notin B)) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in M \wedge x \notin A) \vee (x \in M \wedge x \notin B)) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow ((x \in \mathsf{C}_MA) \vee (x \in \mathsf{C}_MB)) \Leftrightarrow (x \in (\mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB)) \Rightarrow \\
\Rightarrow (\mathsf{C}_M(A \cap B) = \mathsf{C}_MA \cup \mathsf{C}_MB)$


Ну и заодно уж, хотелось бы узнать, как в $\TeX$ правильно изображать значок дополнения? :)
Зорич-то в своей книге вообще не заморачивается, пишет обычное $C$, например так: $C_MA$.
Но я выяснил, что существует специальный значок \complement, вот такой: $\complement_MA$, правда, он страшен как смерть. :)
Поэтому эстеты предпочитают изображать дополнение вот так:
$\mathsf{C}_MA$ или $A^\complement$ или $A^\mathsf{C}$
Какой же из этих вариантов правильнее?.. Или можно как Зорич, писать просто $C_M$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 19:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Denis Russkih в сообщении #767762 писал(а):
Но ведь так, как у меня, вроде бы тоже можно записать, разве нет?
Все верно. У Зорича просто отдельно расписана цепочка следствий в одну и в другую сторону, у Вас написана цепочка эквивалентностей. Это одно и то же.

Denis Russkih в сообщении #767762 писал(а):
Ну и заодно уж, хотелось бы узнать, как в $\TeX$ правильно изображать значок дополнения? :)
А это вопрос личных предпочтений. На мой взгляд, правильно $M\setminus A$ :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 19:39 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Denis Russkih в сообщении #767762 писал(а):
Какой же из этих вариантов правильнее?..
Любой оговоренный перед использованием, хотя вариант $M\setminus A$, вроде, сейчас повсеместен — его вряд ли нужно пояснять читателю.
Ещё иногда «связывают» $M$ определением $\bar X := M\setminus X$, если собираются что-то страшное многобуквенное делать с дополнениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
arseniiv в сообщении #767771 писал(а):
Ещё иногда «связывают» $M$ определением $\bar X := M\setminus X$, если собираются что-то страшное многобуквенное делать с дополнениями.
Не, в топологии и во всем том, что ближе к топологии, чем к булевой алгебре (то есть практически везде), так не делают, потому что $\bar{X}$ --- это замыкание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 19:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Denis Russkih в сообщении #767762 писал(а):
Или можно как Зорич, писать просто $C_M$?

Красиво жить не запретишь, но лучше, по-моему, просто чёрточку сверху, оговорив предварительно существование в рамках обсуждения некоего "генерального" (или как его там) множества. Чёрточка нагляднее, чем косой минус, тем более $C_M$: это уже всего лишь никому не нужное нагромождение буковок.

-- Ср сен 25, 2013 20:50:54 --

Xaositect в сообщении #767772 писал(а):
так не делают, потому что $\bar{X}$ --- это замыкание.

Ну так это ещё и комплексное сопряжение, а у кого-то даже и векторы; и что ж теперь -- застрелиться практически везде?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #767772 писал(а):
в топологии и во всем том, что ближе к топологии, чем к булевой алгебре (то есть практически везде), так не делают, потому что $\bar{X}$ --- это замыкание
Я такое обозначение замыкания в литературе встречал довольно часто, но меня самогó с сáмого начала изучения топологии приучили обозначать замыкание подмножества $A$ топологического пространства $X$ как $[A]_X$. В книге Фрёлихера и Бухера "Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы" есть где-то ошибка в доказательстве важной теоремы, спровоцированная обозначением замыкания "чёрточкой".

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 20:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
ewert в сообщении #767776 писал(а):
Чёрточка нагляднее, чем косой минус
Вряд ли настолько же «нагляднее», насколько \setminus нагляднее $C_M$. :roll: Скорее, она лучше в случае дополнения. Если нужна именно разность, не писать же $M \cap \bar A$!

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 21:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #767799 писал(а):
Вряд ли настолько же «нагляднее», насколько \setminus нагляднее $C_M$.

В определённом смысле -- настолько же. Просто смотря где. Если объемлющее множество подразумевается (как, скажем, в ТВ), то писать его каждый раз перед минусом несколько утомительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 21:07 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Тогда это как раз явно случай дополнения, а не вычитания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение25.09.2013, 23:59 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Большое спасибо всем за ответы!


ewert в сообщении #767776 писал(а):
лучше, по-моему, просто чёрточку сверху, оговорив предварительно существование в рамках обсуждения некоего "генерального" (или как его там) множества

А можно подробнее, как именно это оговаривается? Просто словами? Или есть какая-то особая форма записи?

Меня ещё при чтении учебника смутил этот вопрос. Положим, у нас есть два доказательства внутри одного математического текста. Можно для каждого из доказательств использовать одну и ту же буковку $M$, или же для второго доказательства нужно искать другую букву?.. Или их надо нумеровать, как $M_1, M_2$ и т.д.?

Как я понимаю, это вот "генеральное" (или, может, "универсальное"?) множество служит как раз для такой цели, чтобы не плодить лишние обозначения? Или нет?

Кстати, по поводу универсального множества. Разве это понятие не содержит внутреннего противоречия?.. У Зорича ведь приводится обоснование того, что "множество всех множеств" не может существовать. Получается, это верно только для канторовской "наивной" теории множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение26.09.2013, 00:08 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Оффтоп)

$M\mathbin{\diagdown}A$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение26.09.2013, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Denis Russkih в сообщении #767857 писал(а):
Кстати, по поводу универсального
множества. Разве это понятие не содержит внутреннего противоречия?.. У Зорича ведь приводится обоснование того, что "множество всех множеств" не может существовать. Получается, это верно только для канторовской "наивной" теории множеств?
Все так.

Но наивной теории множеств как правило хватает для большинства вещей в матанализе. Если мы возьмем какое-нибудь множество $M$ и будем называть множествами только его подмножества, то все будет хорошо, и множества всех множеств не будет существовать, потому что оно не является подмножеством $M$. Для матанализа почти везде хватает $M = \mathbb{R}\cup P\mathbb{R} \cup PP\mathbb{R} \cup \dots \cup PPPPPPPPP\mathbb{R}$ (этого хватит, чтобы выразить пониятие "последовательность функций $k$ переменных")

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение26.09.2013, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Denis Russkih
Я бы советовал Вам все же сменить учебник на, скажем, Фихтенгольца. Как я понимаю, Вы ищете не тотальной строгости изложения, а стараетесь уловить суть анализа. Для этой задачи, учитывая Ваше развитое воображение, лучше подойдут старые курсы анализа. Можно еще попробовать "Курс чистой математики" Харди.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли следующая запись доказательства?
Сообщение27.09.2013, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Denis Russkih в сообщении #767857 писал(а):
Кстати, по поводу универсального
множества. Разве это понятие не содержит внутреннего противоречия?
Ну не надо искать универсальное множество в ZF или GB. Есть специальные теории множеств — с универсальным множеством. Там на возможность образования новых множеств наложены ограничения (http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_set).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group