равносторонние треугольники: Квант №1 (2012) vs. OEIS

[maxal]

Задача 11 на стр. 43 в Квант №1 (2012) утверждает, что количество равносторонних треугольников на треугольной решетке в правильном шестиугольнике со стороной $n$ равно $\frac{n(6n^2+9n-4)}2$ для чётного $n$ и $\frac{(n+1)(6n^2+3n+1)}2 - 4n$ для нечётного $n$.

С другой стороны, в OEIS есть последовательность A045949, подсчитывающая те же треугольники и утверждающая, что их $\left\lfloor \frac{n(14n^2+9n+2)}4 \right\rfloor$.

Значения совпадают для $n=1,2,3$, но разнятся для больших $n$. В частности, для $n=4$ имеем 256 по первой формуле и 262 по второй.

Кто прав?

[venco]

Для $n=4$ их 262.

[maxal]

Может, в Кванте что-то немного другое считают? Хотелось бы придать смысл их формулам...

[TOTAL]

maxal в сообщении #767355 писал(а):

утверждает, что количество равносторонних треугольников на треугольной решетке в правильном шестиугольнике со стороной $n$

Какие треугольники считать? Только самые маленькие или все? Только со сторонами на линиях решетки или лишь бы вершины были в узлах?

[maxal]

TOTAL в сообщении #767596 писал(а):

Какие треугольники считать? Только самые маленькие или все? Только со сторонами на линиях решетки или лишь бы вершины были в узлах?

Не хочу в данном случае навязывать свою интерпретацию. Прочитайте, что они считают (и там, и там) в первоисточниках...

[nnosipov]

Подобными задачками я занимался со своими школьниками в 2008 году. Мы сочинили небольшой текст на эту тему (см. приложенный файл, а также topic49338.html), где излагается некий общий метод подсчёта треугольников. С шестиугольником (задача 11 из статьи) уже было лень разбираться, но пример с ромбом мы рассмотрели (задача 10). Теперь есть повод вернуться к шестиугольнику.

[nnosipov]

Ну что же, товарищи из "Кванта" либо врут, либо имеют в виду что-то другое --- старший коэффициент равен $7/2$, т.е. такой же как в OEIS.

В следующем номере помещено лишь указание к решению задачи 11 (формулы предлагается доказывать по индукции).

[maxal]

Я связался с авторами статьи, и они сказали, что у них, скорее всего, ошибка.
Я тем не менее, добавил последовательность, получаемую по их формулам OEIS - см. A229620.