Поле F_p [Алгебра]

[Whitaker]

Здравствуйте!

Пусть $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/(p)$, где $p$ - простое число. Вычислить произведение вcех ненулевых элементов $\mathbb{F}_p$.

Как я полагаю, то это произведение есть $[-1]_p$. Фактически это теорема Вильсона. Верно?

[VAL]

Whitaker в сообщении #766970 писал(а):

Пусть $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/(p)$, где $p$ - простое число. Вычислить произведение вcех ненулевых элементов $\mathbb{F}_p$.

Как я полагаю, то это произведение есть $[-1]_p$. Фактически это теорема Вильсона. Верно?

Ваш ответ на Ваш вопрос верен!

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #766970 писал(а):

Фактически это теорема Вильсона. Верно?

Но если копнуть чуть глубже, то это следует из формул Виета. И не только для $\mathbb{F}_p$, но и для любого конечного поля (ответ только подкорректировать нужно будет).

[Whitaker]

nnosipov
А как тут используется формулы Виета?

[nnosipov]

Ну как же: все ненулевые $x$ из этого поля --- корни многочлена $x^{p-1}-1$. А произведение всех корней многочлена равно понятно чему.

[Whitaker]

Да да!
Спасибо большое nnosipov и VAL

[VAL]

Whitaker в сообщении #767045 писал(а):

nnosipov
А как тут используется формулы Виета?

Можно учесть, что элементы поля $\mathbb Z_p$ суть корни полинома $x^p-x$. Или более общее утверждение: элементы $\mathbb F_{p^m}$ в точности корни полинома $x^{p^m}-x$.

PS: Пока набирал, уже ответили. Ну не стирать же

[nnosipov]

Вот интересно: произведение всех элементов конечной абелевой группы можно как-то вычислить? Если группа нечётного порядка, то оно равно единичному элементу. А если порядок группы чётен?

Ещё вспомнилось: Гаусс вычислил произведение всех обратимых элементов кольца вычетов $\mathbb{Z}_m$ для произвольного $m$ (кажется, есть в "Лекция по теории чисел" Хассе).

[Whitaker]

VAL в сообщении #767050 писал(а):

Whitaker в сообщении #767045 писал(а):

nnosipov
А как тут используется формулы Виета?

Можно учесть, что элементы поля $\mathbb Z_p$ суть корни полинома $x^p-x$. Или более общее утверждение: элементы $\mathbb F_{p^m}$ в точности корни полинома $x^{p^m}-x$.

PS: Пока набирал, уже ответили. Ну не стирать же

Т.е. если я правильно понял произведение всех элементов поля $\mathbb{F}_{p^m}$ которые взаимно с $p^m$ равно $-1$. Так?

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #767060 писал(а):

произведение всех элементов поля $\mathbb{F}_{p^m}$ которые взаимно с $p^m$

Просто ненулевых элементов.

[Whitaker]

Извините пожалуйста, если впросы несущественные так как я алгебру недавно начал серьезно изучать. А как же например классы $[p]_{p^m}, [p^2]_{p^m}$??

[VAL]

nnosipov в сообщении #767054 писал(а):

Вот интересно: произведение всех элементов конечной абелевой группы можно как-то вычислить? Если группа нечётного порядка, то оно равно единичному элементу. А если порядок группы чётен?

По разному может быть. В том числе и нейтральный элемент может получится. Например, в $C_2\times C_2$.

-- 23 сен 2013, 19:12 --

Whitaker в сообщении #767063 писал(а):

Извините пожалуйста, если впросы несущественные так как я алгебру недавно начал серьезно изучать. А как же например классы $[p]_{p^m}, [p^2]_{p^m}$??

В конечном поле (не путать с кольцом вычетов по модулю $p^m$) таких классов нет.

[Whitaker]

Теперь все понятно.
Благодарю VAL

[AV_77]

VAL в сообщении #767064 писал(а):

По разному может быть. В том числе и нейтральный элемент может получится.

Почти всегда нулевой элемент будет (удобнее аддитивные группы рассматривать). Все элементы порядка больше 2 имеют отличный от них противоположный - их сумма равна нулю. Осталось только с элементами второго порядка разобраться. Все они по сложению образуют группу, изоморфную аддитивной группе конечного поля. Ну а тогда сумма равна сумме элементов поля $\mathbb{F}_{2^n}$ - либо 0, если $n > 1$, либо равна единственному элементу второго порядка.