Операция "Ы"

[Dave]

Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x^2-yz=a \\ y^2-zx=b \\ z^2-xy=c \end{cases}$$

в действительных числах $x,y,z$. Рассмотреть все возможные значения параметров $a,b,c$.

[arqady]

$ay+bz+cx=0$ и $az+bx+cy=0$ получаются сразу. Ну а дальше - всё прозрачно.

[nnosipov]

Надеюсь, $a$, $b$, $c$ считаются вещественными Если система разрешима, то $a+b+c \geqslant 0$. Если $a+b+c=0$, то $x=y=z$ и $a=b=c=0$. Пусть $a+b+c>0$. Здесь можно рассмотреть два случая: 1) $a=b=c$ и 2) среди $a$, $b$, $c$ есть различные. В случае 2) будет два решения (Maple говорит), а в случае 1) --- бесконечно много (выписывать лень).

[Dave]

Функция $\operatorname{\text{Ы}}(x,y,z)=\frac 1 {\sqrt[3] {(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2}} \Big(x^2-yz,y^2-zx,z^2-xy\Big)$ - инволюция в области определения, т.е. $\operatorname{\text{Ы}}(\operatorname{\text{Ы}}(x,y,z))=(x,y,z)$.

nnosipov в сообщении #764947 писал(а):

Надеюсь, $a$, $b$, $c$ считаются вещественными Если система разрешима, то $a+b+c \geqslant 0$. Если $a+b+c=0$, то $x=y=z$ и $a=b=c=0$. Пусть $a+b+c>0$. Здесь можно рассмотреть два случая: 1) $a=b=c$ и 2) среди $a$, $b$, $c$ есть различные. В случае 2) будет два решения (Maple говорит), а в случае 1) --- бесконечно много (выписывать лень).

Странный какой-то Ваш Maple. Более сложный случай решил (если верить Вам на слово), а более простой - нет.
Для случая $a=b=c=t$, $t>0$ общее решение задаётся формулой

$$(x,y,z)=\pm 2 \sqrt{\frac t 3}\left(\cos \varphi, \cos \left(\varphi+\frac {2\pi} 3 \right), \cos \left(\varphi+\frac {4\pi} 3 \right)\right) .$$

[nnosipov]

Dave в сообщении #766817 писал(а):

Странный какой-то Ваш Maple.

Вот что я набрал

solve({x^2-y*z=t,y^2-z*x=t,z^2-x*y=t},{z,y,z});

и получил

{y = RootOf(_Z^2+x*_Z+x^2-t), z = -RootOf(_Z^2+x*_Z+x^2-t)-x}

Это надо было бы причесать (и вообще понять, что здесь Maple сделал), но я не смог себя заставить.

Вообще задача для школьников хорошая. Мне показалось, что здесь будут корни каких-нибудь узнаваемых кубических уравнений, например как в системе

$$ \left\{ \begin{array}{l} y=x(4-x),\\ z=y(4-y),\\ x=z(4-z). \end{array} \right. $$

Но оказалось иначе.

[Коровьев]

Dave в сообщении #764925 писал(а):

Рассмотреть все возможные значения параметров $a,b,c$.

Задача есть в Кречмар В.А. Задачник по алгебре (Параграф 5, задача 26.)

(Оффтоп)

Я по этому задачнику готовился для поступления в ВУЗ, и надо же, одна из задач по математике письменно попалась из него, что существенно повлияло на итоговую оценку.
А эта задача зрительно показалась мне очень знакомой. Порылся и нашёл

Там из решения следует, что для вещественности $x,y,z$ необходимо и достаточно
$$\lambda ^{ - 2} =a^3+b^ 3+c^3-3abc при вещественных $\lambda,a,b,c$
А из него следует необходимое и достаточное условие:
$a+b+c>0$

[Dave]

Коровьев в сообщении #766956 писал(а):

Задача есть в Кречмар В.А. Задачник по алгебре (Параграф 5, задача 26.)
...
А из него следует необходимое и достаточное условие:
$a+b+c>0$

Ошибается этот Ваш Кречмар. Один случай таки упустил. Как заметил выше nnosipov, случай $a=b=c=0$ также даёт группу решений $x=y=z$. Так что хорошо, что на экзамене попалась не эта задача .