лошадиное доказательство

[Shadow]

_Ivana в сообщении #764859 писал(а):

проблема тут вовсе не в индукционном переходе при $n=1$

Именно там. Потому что если удастся доказать, что любые две лошади - одного цвета, утверждение будет верно. Но доказательство: первая лошадь одного (своего) цвета, и вторая одного цвета, значит обе одного цвета- сами понимаете, ... просто игра слов.

[Утундрий]

Есть ещё теорема о длинноширинности крокодилов. Там тоже интересно...

[provincialka]

_Ivana в сообщении #764859 писал(а):

2) проблема тут вовсе не в индукционном переходе при $n=1$, а в подмене утверждений: вместо "если имеем $k$ лошадей одного цвета, то добавив к ним одну лошадь, полученный набор также будет одного цвета" - какое должно проверяться при правильном применении метода индукции, применяется очевидно истинное, но другое утверждение: "если из $m$ лошадей любые $m-1$ одного цвета, то все они одного цвета".

Разве одно другому мешает? Подмена утверждений и приводит к ошибке в индукционном переходе. Не в базе же!

Что касается литературы - поищите по теме "теория отношений".

-- 17.09.2013, 23:13 --

Утундрий в сообщении #764869 писал(а):

Есть ещё теорема о длинноширинности крокодилов. Там тоже интересно...

Это вообще шедевр! Хотя и баян...

[_Ivana]

Утундрий, та, которая доказывается через отношение длинности и ширинности к зелености? Не производит впечатление, что там есть над чем подумать.

Shadow, ваше утверждение правильно. Но тогда теорема "все лошади белые" неверна сразу, потому что даже при $n=1$ у нас это условие не выполняется, если понимать его как "любая лошадь белая". А если понимать как "возьмем белую лошадь" - тогда мы можем их взять хоть 100 (проверив истинность утверждения не только для $n=1$, а и для кучи других - на всякий случай, ведь метод индукции этого не запрещает), и тогда уже не будет иметь значение, от какого конечного стартового числа начинать индуктивный переход, не будет проблем с пустым множеством и т.п.

provincialka спасибо, поищу.

[Утундрий]

_Ivana в сообщении #764875 писал(а):

Не производит впечатление, что там есть над чем подумать.

А в лошадях есть о чём? Арность, арность! Бинарную операцию путём хитрого словоблудия свели к унарной и в результате закономерно получили чушь. Вот и вся любовъ мораль.

[provincialka]

_Ivana в сообщении #764875 писал(а):

Shadow,А если понимать как "возьмем белую лошадь" - тогда мы можем их взять хоть 100 (проверив истинность утверждения не только для $n=1$,

Но ведь это будет уже другое доказательство! И ошибка в нем другая. С индукцией такое бывает: более сильное утверждение (скажем, неравенство) иногда легче доказать, чем более слабое. Вот и здесь так: сначала "доказывают", что все лошади белые, а потом находят одну белую лошадь. Или, скажем, мышь, ведь вид животного в доказательстве не используется (в исходном тексте, насколько я помню, брали вообще белого слона).

[Gabarityanin]

Поскольку в доказательстве "лошадь" никак не фигурирует, то можно заменить "лошадь" на "животное". Общеизвестно существование белых слонов (см. Марк Твен "Похищение белого слона"), следовательно, все животные могут быть только одного белого цвета. Кстати, из этого же следует, что Александр Македонский никогда не существовал. В самом деле, в источниках существуют упоминания, что конь Александра Буцефал был либо вороной, либо желтовато-рыжей масти. А мы только что доказали, что все животные могут быть только белого цвета. Следовательно, не существовало ни коня Буцефала, ни его хозяина Александра Македонского...

Кстати, именно эта теорема и дальнейший околонаучный стеб вокруг нее описан в замечательной книге "Физики продолжают шутить".

А теорема о крокодилах: "Крокодил более длинный, чем широкий" тоже легко доказывается с помощь двух лемм:) Могу доказать:) Доказательство когда-то было опубликовано в журнале Квант.

[ИСН]

Кажется, там было через промежуточную величину "зелёный"...

[Neos]

По-моему, rwwd решил потроллить участников форума. Сама "теорема" образчик
софизма. Чтобы использовать метод математической индукции нужно иметь доступ к
свойствам элементов множества по номеру (формула общего члена), или реккурентное соотношение (связь между отдельными элементами). Ни того, ни другого в данной "теореме" нет. Ну что, новое поколение математиков от "комеди клаб", дом-2 и других... Надежда российской науки ((

[bot]

Никакого троллинга. Речь идёт о понимании метода математической индукции. Одна из наиболее частых ошибок при применении метода состоит в том, что не проверятся проходимость индуктивного перехода от любого натурального числа к следующему. Над некоторыми владеет, так сказать, магия обобщения - коль скоро сказано про $n$, то оно какое-то "неконкретное". Именно сюда в гротескной форме и засунута ошибка.

[provincialka]

Neos в сообщении #767235 писал(а):

По-моему, rwwd решил потроллить участников форума. Сама "теорема" образчик
софизма. Чтобы использовать метод математической индукции нужно иметь доступ к
свойствам элементов множества по номеру (формула общего члена), или реккурентное соотношение (связь между отдельными элементами). Ни того, ни другого в данной "теореме" нет. Ну что, новое поколение математиков от "комеди клаб", дом-2 и других... Надежда российской науки ((

Да какое же "новое"? Это баян страшный, я его с детства знаю. Забавное "доказательство" - хорошее логическое упражнение на поиск ошибки.

[spyphy]

bot в сообщении #764706 писал(а):

Теорема имеет усиление. Все лошади белого цвета.

Усиление не прокатит - база будет не верная. Когда берем одну лошадь, она не всегда белая.

По-моему, единственное слабое место в доказательстве исходной теоремы:

Цитата:

Но тогда и все k + 1 лошадей будут одного цвета.

Например, для $k=1$ этот индуктивный переход не работает (а в ММИ это должно работать для любого $k$).

[bot]

spyphy в сообщении #767253 писал(а):

Например, для $k=1$ этот индуктивный переход не работает (а в ММИ это должно работать для любого $k$).

Об этом уже давно сказано. В цепочке импликаций $P(1)\Rightarrow P(2)\Rightarrow P(3)\Rightarrow \ldots \Rightarrow P(n)\Rightarrow P(n+1)\Rightarrow \ldots $ есть единственное слабое звено - это $P(1)\Rightarrow P(2)$.
Если мы согласимся с этой импликацие, то должны будем согласиться с утверждением

Лемма 1. В любом множестве, состоящем из $n$ лошадей, все лошади одного цвета.

Теперь, чтобы доказать, что все лошади белого цвета, нужна

Лемма 2. Существует белая лошадь.
Доказательство. Здесь индукция уже не нужна, набираем в гугле белая лошадь

[_Ivana]

bot напишите пожалуйста формальное определение $P(n)$ в вашей нотации, по возможности без ссылок на т.н. "здравый смысл".

[Null]

$P(n)$ - "любые n лошадей имеют одинаковый цвет".