Три задачи о тетраэдре

[Dave]

1. Докажите, что величина

$$\frac a {\sin \alpha} \cdot \frac b {\sin \beta} \, ,$$

где $a$ и $b$ - противоположные рёбра тетраэдра, $\alpha$ и $\beta$ - двугранные углы при них, не зависит от выбора пары этих рёбер.

2. Докажите, что величина

$$\frac a {\sin \alpha} \left(\frac {\frac {S_1} {S_2}+\frac {S_2} {S_1}} 2 - \cos \alpha \right),$$

где $a$ - ребро тетраэдра, $\alpha$ - двугранный угол при нём, $S_1$ и $S_2$ - площади прилегающих к нему граней, одинакова для противоположных рёбер тетраэдра.

3. Докажите, что для двугранных углов тетраэдра справедливо соотношение:

$$\begin{vmatrix} -1 & \cos \alpha_{12} & \cos \alpha_{13} & \cos \alpha_{14} \\ \cos \alpha_{12} & -1 & \cos \alpha_{23} & \cos \alpha_{24} \\ \cos \alpha_{13} & \cos \alpha_{23} & -1 & \cos \alpha_{34} \\ \cos \alpha_{14} & \cos \alpha_{24} & \cos \alpha_{34} & -1 \end{vmatrix} =0 \, ,$$

где $\alpha_{ij}$ - угол между $i$-й и $j$-й гранями.

[TOTAL]

Dave в сообщении #764602 писал(а):

3. Докажите, что для двугранных углов тетраэдра справедливо соотношение:

$$S_1=S_2\cos\omega_2+S_3\cos\omega_3+S_4\cos\omega_4$$

Площадь одной грани нашли через площади остальных граней и двугранные углы.
Однородная система из четырех таких уравнений относительно площадей граней имеет нулевой определитель.

[Dave]

TOTAL в сообщении #764976 писал(а):

$$S_1=S_2\cos\omega_2+S_3\cos\omega_3+S_4\cos\omega_4$$

Площадь одной грани нашли через площади остальных граней и двугранные углы.
Однородная система из четырех таких уравнений относительно площадей граней имеет нулевой определитель.

Совершенно верно.

Аналогичное равенство имеет место и в пространстве любой размерности. К примеру, для углов произвольного треугольника $\alpha, \beta, \gamma$ верно:

$$\begin{vmatrix} -1 & \cos \alpha & \cos \beta \\ \cos \alpha & -1 & \cos \gamma \\ \cos \beta & \cos \gamma & -1 \end{vmatrix} =0 \, .$$

Тождество такого вида - это единственное, что связывает углы между $\frac {n(n+1)} 2$ гранями произвольного $n$-мерного симплекса. За исключением этого ограничения (ну и, возможно, некоторых неравенств), углы можно выбирать произвольно. Это говорит нам о том, что существует $\frac {n(n+1)} 2$ степеней свободы в построении такого симплекса с точностью до конгруэнтности.
Можете ли Вы доказать тождество такого вида в общем случае без привлечения понятия площадей?

[ewert]

Dave в сообщении #765235 писал(а):

Можете ли Вы доказать тождество такого вида в общем случае без привлечения понятия площадей?

Это просто минус матрица Грама для нормалей.

[Dave]

ewert в сообщении #765240 писал(а):

Это просто минус матрица Грама для нормалей.

$\text{минус}^{\, n}$

Интересно, что если рассматривать $n$-мерный симплекс "полностью привязанным" к соответствующему пространству, то для его выбора существует $n(n+1)$ степеней свободы. Таким образом, на всякие повороты/движения уходит ровно половина степеней свободы.

[ewert]

Dave в сообщении #765581 писал(а):

$\text{минус}^{\, n}$

Нет.

[Dave]

Я имел ввиду определитель