напряженность в центре кольца

[102beta]

Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью $\lambda = {\lambda _0}\cos \varphi $, где ${\lambda _0}$ - постоянная, $\varphi $ - азимутальный угол. Найти модуль напряженности электрического поля в центре кольца.

$dE = \frac{{dq}}{{{R^2}}}$

$dq = d\varphi *\lambda *R\\$

$dE = \frac{{d\varphi *{\lambda _0}*\cos \varphi }}{R}\\$

$E = \frac{{{\lambda _0}}}{R}\int\limits_0^{2\pi } {\cos \varphi d\varphi = 0} \end{array}$

Но правильный ответ не такой

[ewert]

Ежу понятно, что ноль -- просто вклады диаметрально противоположных точек сокращаются безо всяких интегралов. Непонятны лишь два момента: 1) зачем полярный угол обозван азимутальным? и 2) почему кольцо непроводящее , если всем ежам это и так очевидно?

[102beta]

ewert в сообщении #764241 писал(а):

Ежу понятно, что ноль -- просто вклады диаметрально противоположных точек сокращаются безо всяких интегралов. Непонятны лишь два момента: 1) зачем полярный угол обозван азимутальным? и 2) почему кольцо непроводящее , если всем ежам это и так очевидно?

Это задача из Иродова

[Tookser]

ewert, оно же заряжено неравномерно, заряды могут перераспределяться в случае с проводящим.

[ewert]

(Оффтоп)

Tookser в сообщении #764245 писал(а):

заряды могут перераспределяться в случае с проводящим.

Не могут, именно потому, что оне заданы. Именно потому и непроводящее. Именно потому и странно.

[Tookser]

ewert в сообщении #764247 писал(а):

Не могут, именно потому, что оне заданы. Именно потому и непроводящее. Именно потому и странно.

Не уверен в том, что нет странных задач про перераспределение зарядов, заданных в такой форме. А так все хорошо, только условие избыточно и слово "азимутальный" не подходит.

[Legioner93]

ewert в сообщении #764241 писал(а):

Ежу понятно, что ноль -- просто вклады диаметрально противоположных точек сокращаются безо всяких интегралов.

Вклады диаметрально противоположных точек не сокращаются, а складываются, ведь заряды там разных знаков, и суммарное электрическое поле будет удвоенное.
Одинаковые заряды в точках $\varphi$ и $-\varphi$, но там поля тоже не сократятся, сократится лишь их "восточно-западная" часть. А "северно-южная" останется.
В итоге поле в центре кольца будет совсем не ноль.

-- Вс сен 15, 2013 23:41:53 --

102beta
А проецировать $\vec{dE}$ на OX и OY вы, товарищ, не собираетесь? Так как вы складываете $dE$, делать решительно нельзя. Спроецируйте, там как раз полезут квадраты косинусов и косинус*синус (наверное). Второй интеграл скорее всего ноль, но не первый.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #764247 писал(а):

Не могут, именно потому, что оне заданы. Именно потому и непроводящее. Именно потому и странно.

Это опять разница между мышлением физика и математика. Математик считает, что "задано" - значит, "как прибили, так и держится". Физик опасается, что раз "задано" - то дальше всё зависит от Природы-матушки. Если не указать, что непроводящее, то нифига держаться не будет, а начнётся нестационарный переходный процесс, который отдельная задача с более сложной математической моделью.

Legioner93 в сообщении #764251 писал(а):

Вклады диаметрально противоположных точек не сокращаются, а складываются

Вклады потенциалов - складываются, вклады напряжённостей - сокращаются, потоме как векторы. А найти-то надо напряжённость.

Если хотите, можно её искать и через потенциал, но это гора-а-аздо муторней: ведь потенциал-то придётся искать не в точке, а в окрестности, как зависимость от точки, а потом еща дифференцировать. Оно вам надо?

[102beta]

Legioner93 в сообщении #764251 писал(а):

ewert в сообщении #764241 писал(а):

Ежу понятно, что ноль -- просто вклады диаметрально противоположных точек сокращаются безо всяких интегралов.

Вклады диаметрально противоположных точек не сокращаются, а складываются, ведь заряды там разных знаков, и суммарное электрическое поле будет удвоенное.
Одинаковые заряды в точках $\varphi$ и $-\varphi$, но там поля тоже не сократятся, сократится лишь их "восточно-западная" часть. А "северно-южная" останется.
В итоге поле в центре кольца будет совсем не ноль.

-- Вс сен 15, 2013 23:41:53 --

102beta
А проецировать $\vec{dE}$ на OX и OY вы, товарищ, не собираетесь? Так как вы складываете $dE$, делать решительно нельзя. Спроецируйте, там как раз полезут квадраты косинусов и косинус*синус (наверное). Второй интеграл скорее всего ноль, но не первый.

То есть в задачах, в которых интегрируется по кругу, нужно искать именно проекцию на какую-нибудь ось?

[Munin]

Нет. В задачах, в которых интегрируются векторы, нужно искать проекции на оси. На все.

[Legioner93]

Munin в сообщении #764257 писал(а):

Legioner93 в сообщении #764251 писал(а):

Вклады диаметрально противоположных точек не сокращаются, а складываются

Вклады потенциалов - складываются, вклады напряжённостей - сокращаются, потоме как векторы. А найти-то надо напряжённость.

Нет, я говорил именно про напряженности. С чего вдруг им сокращаться? Вы хотите сказать, что если на концы палки прилепить заряды $q$ и $-q$, то в центре напряженность будет ноль?!

[Munin]

А, тьфу. Я не обратил внимания, подумал, что речь о более общей задаче $\lambda=\lambda(\varphi).$
Да, всё у вас правильно. И проекцию векторов достаточно брать на одну ось - на другую, очевидно, нуль.

[nestoronij]

ewert в сообщении #764241 писал(а):

Ежу понятно, что ноль -- просто вклады диаметрально противоположных.... непроводящее , если всем ежам это и так очевидно?

Игорь Евгеньевич Иродов не так прост, как Вам кажется. Не ноль.

[miflin]

ewert в сообщении #764241 писал(а):

вклады диаметрально противоположных точек сокращаются безо всяких интегралов.

Это было бы так, если бы выполнялось $\cos(\pi+\varphi)=\cos\varphi$ вместо правильного $\cos(\pi+\varphi)=-\cos\varphi$

-- 16.09.2013, 07:20 --

Прошу прощения за невнимательность. Legioner93 уже всё объяснил.

[nikvic]

Legioner93 в сообщении #764251 писал(а):

Спроецируйте, там как раз полезут квадраты косинусов и косинус*синус (наверное). Второй интеграл скорее всего ноль, но не первый.

Только квадрат косинуса.
Если нарисовать картинку, то "неноль" очевиден: половинка - синяя, половинка - красная