2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 09:59 
Нужно найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.
$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{(x + 1)^n }}{{(n + 2)^2 }}}\]$
Нашла радиус сходимости
$\[R = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(n + 3)^2 }}
{{(n + 2)^2 }} = 1\]$.
Получается, что интервал сходимости $\[ - 1 < x < 1\]$
При x=-1, получаем
$\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{2^n }}
{{(n + 2)^2 }}} \]$
А как проверить сходимость данного ряда?

 
 
 
 Re: Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 10:10 
Аватара пользователя
Ylyasha в сообщении #763698 писал(а):
Получается, что интервал сходимости $\[ - 1 < x < 1\]$

Радиус получается, интервал не получается.

 
 
 
 Re: Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 10:17 
так какой в данном случае будет интевал сходимости ?

 
 
 
 Re: Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 10:39 
Аватара пользователя
А почему Вы радиус сходимости откладываете от нуля вправо и влево?

 
 
 
 Re: Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 10:50 
Аватара пользователя
Типичная ошибка. Я советую студентам ввести замену $x+1=t$ и работать именно с переменной $t$. Конечно, это не принципиально, до путаницы будет меньше.

 
 
 
 Re: Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 10:57 
Вообще-то нелепая ошибка. Откуда вообще приходит в голову интервал $(-R;\,R)$, когда согласно решительно всем стандартным формулировкам это $(x_0-R;\,x_0+R)$ ?...

 
 
 
 Re: Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 11:08 
тогда интервал будет (0,2)

 
 
 
 Re: Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 11:15 
Аватара пользователя
там где радиус равен 0 - там и "центр"

 
 
 
 Re: Интервал сходимости степенного ряда
Сообщение14.09.2013, 12:38 
Аватара пользователя
А где радиус равен 0? :facepalm:

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group