Три стрелка стреляют по мишени....

[dm87]

Доброе время суток. Помогите, пожалуйста, решить задачку по тер.веру.

Три стрелка производят по одному выстрелу по одной мишени. Вероятность попадания 1ого стрелка равна 0,6, второго - 0,5, третьего - 0,4. В результате произведённых выстрелов в мишени оказались 2 пробоины. Найти вероятность того, что в мишень попали второй и третий.

Решать задачу нужно по формуле Байеса. Что думаю я. Обозначаим $A$ - в мишени 2 пробоины, $H_1$ - не попал первый стрелок. Тогда вероятность непопадания первого стрелка при условии, что в мишени 2 пробоины вычисляется по формуле:

$P(H_1/A) = \frac {P(H_1) * P(A/H_1)} {P(A)}$

где

$P(A/H_1) = \overline{p_1} * p_2 * p_3$
$P(A) = \overline{p_1} * p_2 * p_3 + p_1 * \overline{p_2} * p_3 + p_1 * p_2 * \overline{p_3}$

а как найти $P(H_1)$? И правильно ли я думаю? Заранее большое спасибо.

[PAV]

Во-первых, не Вайеса, а Байеса.

Вероятность $P(A|H_1)$ записана неверно. То, что написано, - это не условная вероятность, а вероятность пересечения $P(A\cap H_1)$.

Зная ее, запишите величину $P(H_1|A)$, которую требуется найти, по определению условной вероятности и все получится.

[dm87]

спасибо. но задачу всё-таки требуется решить именно формулой Байеса.
подозревал, что вероятность $P(A/H_1)$ написана неверно. Как же всё-таки определить её и $P(H_1)$?

[epros]

$P(A | H_1) = \frac{P(A \wedge H_1)}{P(H_1)}$
$P(H_1) = \overline{p_1}$
$P(A | H_1) = p_2 \times p_3$
$P(A) = P(A \wedge H_1) + P(A \wedge \overline{H_1})$

А Вам нужно:
$P(H_1 | A) = \frac{P(A \wedge H_1)}{P(A)} = \frac{P(A \wedge H_1)}{P(A \wedge H_1) + P(A \wedge \overline{H_1})} = \frac{P(A | H_1) \times P(H_1)}{P(A \wedge H_1) + P(A \wedge \overline{H_1})}$ - это и есть формула Байеса.

С учётом того, что $P(A \wedge \overline{H_1}) = P(A \wedge H_2) + P(A \wedge H_3)$ имеем ответ.

[PAV]

epros писал(а):

$P(H_1) = \overline{p_1}$

Только все-таки, наверное, лучше писать не $\overline{p_1}$, а $1-p_1$

[epros]

PAV писал(а):

Только все-таки, наверное, лучше писать не $\overline{p_1}$, а $1-p_1$

Может быть. Здесь я следовал обозначениям автора вопроса.

[PAV]

А, и верно, я уже забыл.