2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 эквивалентные нормы в пространствах Соболева
Сообщение09.09.2013, 17:18 
Следующее утверждение удобно использовать при построении различных эквивалентных норм в пространствах Соболева и доказательства неравенств типа Пуанкаре и Фридрихса.
Это приглашение выкладывать сюда подобные абстрактные теоремы, которые позволили бы упростить изложение теории пространств Соболева.

Пусть $(X,\|\cdot\|)$ -- банахово пространство. Через $E\subseteq X$ обозначим некоторое линейное пространство. Заданы линейные операторы $A_1,\ldots, A_n:E\to X$.

Предположим, что пространство $E$ является рефлексивным банаховым пространством относительно нормы
$$\|u\|_E=\|u\|+\sum_{i=1}^n\|A_iu\|\qquad (*)$$ и вложение $E\subset X$ компактно.

Утв. 1 Предположим, что существует набор линейных функций $f_1,\ldots, f_m\in E'$ такой , что если $x\ne 0,\quad x\in\bigcap_{i=1}^n\ker A_i$ то для некоторого $r$ верно неравенство $f_r(x)\ne 0$.
Тогда норма $$|x|=\sum_{k=1}^m|f_k(x)|+\sum_{i=1}^n\|A_ix\|$$ эквивалентная норме (*)

Доказательство слишком просто что бы его писать.

Подразумевается следующее: $E=H^{s,p}(M),\quad X=L^p(M),\quad p>1$ и $A_i$ -- операторы частного дифференцирования, $M\subset\mathbb{R}^N$ -- ограниченная область с хорошей границей.

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group