Два простых числа и системы счисления

[Ktina]

(по мотивам задачи В. А. Клепцына)

Ксюша умножила некоторое вещественное число на 10 и получила простое число.
Иришка умножила то же самое вещественное число на 13 и...тоже получила простое число!

Найдите все системы счисления (позиционные, с натуральным основанием $n$), в которых такое возможно.
И докажите, что других нет.

[Dave]

(Ответ)

2 и 5 в двоичной системе.

[Ktina]

Dave в сообщении #761847 писал(а):

(Ответ)

2 и 5 в двоичной системе.

В двоичной системе есть цифра "три"?

[Dave]

Да, перебор.
Но ведь тогда задача некорректна. Вы ведь говорите в условии о свершившемся факте. А получается, что такого не может быть. Или я какое-то решение пропустил?

[hippie]

Ответ: $n=6.$

[Ktina]

hippie в сообщении #761863 писал(а):

Ответ: $n=6.$

Безошибочно!

Если $n\in\mathbb N$ -- основание ситемы, то

$$10_{n}=n, \quad 13_n=n+3$$

Итак, нам надо найти два простых числа с отношением

$$\dfrac{n+3}{n}$$

Если $n$ не кратно трём, то единственная пара таких чисел -- 5 и 2 при $n=2$, однако, как уже было сказано выше, цифры "три" в базе "два" нет.
Если же $n$ кратно трём, то наше отношение сводится к отношению

$$\dfrac{k+1}{k}$$

, единственная пара, удовлетворяющая которому, $(3; 2)$ при $n=6$.
Следовательно, других систем, помимо шестеричной, быть в нашем случае не может.
В шестеричной же, умножая $a=\dfrac{1}{3}$ на $10_6$ и на $13_6$, получаем простые числа 2 и 3.

[hippie]

У меня решение было другое.

Если число Ксюши $p,$ то число Иришки $p+\frac {3p}{n}.$ Эти числа не могут быть одновременно нечётными. Следовательно, $p=2,$ а $n(>3)$ — делитель 6. Таким образом, $n$ может равняться только 6.
Проверкой убеждаемся, что $n=6$ подходит.

[Ktina]

hippie,