Приведение производящих функций. Приближение функций

[galaxy]

Пусть дана исходная функция и мы хотим её привести к искомой функции другого вида (либо найти ее приближение.) Искомая функция не является развернутым полиномом и содержит неизвестные параметры (например, неизвестные степени подвыражений или неизвестные коэффициенты.) Подход основан символьном разложении искомой функции в ряд Маклорена и последовательном исключении неизвестных таким образом, чтобы коэффициенты разложения исходной и искомой функции полностью (либо частично) совпадали.

Этот подход практически не применим на бумаге и ограниченно применим на компьютере.

Например, дана последовательность $\left<a_n\right> = \left<1, 0, 3, 2, 6, 6, 12, 12, 21, 22, 33, 36, 50, 54, \dots\right>$ (это A053090, которая сдвинута на три позиции к началу, т.е. без трех нулей в начале.) Тогда, убрав множитель $x^3$ из п.ф. из A053090 получим п.ф. для данной последовательности:

$$\frac{1+x^3}{(1-x^2)^3(1-x^3)}.\eqno{(1)}$$

Допустим, мне нужно найти п.ф. вида $\prod_i(1-x^i)^{p_i}$, где $p_i$ — неизвестные. Для демонстрации подхода ограничим $i$ от 1 до 7.
С помощью Mathematica искомая п.ф. раскладывается в ряд Маклорена с коэффициентами $\left< b_n^{(1)}\right> = \left<1, -p_1, \dots\right>$ (следующие коэффициенты на этом шаге нас не интересуют.)
Поскольку $a_0 = b_0^{(1)} = 1$, то сразу переходим к следующему коэффициенту. Коэффициент $b_1^{(1)}$ содержит одно неизвестное $p_1$, и чтобы его найти, нужно найти уравнение $b_1^{(1)} = a_1$. Получится уравнение $-p_1 = 0$. Решаем. Получаем $p_1 = 0$. Подставляем в искомую п.ф. $p_1 = 0$. Осталось шесть неизвестных. Полученную п.ф. раскладываем в ряд и получаем коэффициенты $\left< b_n^{(2)}\right> = \left< 1, 0, -p_2, \dots \right>$ (на каждом шаге будем смотреть на один коэффициент больше.)
Находим уравнение $b_2^{(2)} = a_2$. Получаем уравнение $ -p_2 = 3$. Решаем. Получаем $p_2 = -3$. Подставляем это решение в п.ф., полученную на предыдущем шаге. Получаем п.ф. с пятью неизвестными. Следующие шаги аналогичны.
Для $p_3$ получим уравнение $-p_3 = 2$, искомое $ p_3 = -2$, подставляем.
Для $p_4$ получим уравнение $6 - p_4 = 6$, искомое $p_4 = 0$, подставляем.
Для $p_5$ получим уравнение $6 - p_5 = 6$, искомое $p_5 = 0$, подставляем.
Для $p_6$ получим уравнение $13 - p_6 = 12$, искомое $p_6 = 1$, подставляем.
Для $p_7$ получим уравнение $12 - p_7 = 12$, искомое $p_7 = 0$, подставляем.
В итоге получим п.ф.

$$\frac{1-x^6}{(1-x^2)^3(1-x^3)^2}.\eqno{(2)}$$

Нетрудно проверить, что $\eqno{(1)}$ и $\eqno{(2)}$ совпадают. Например, Mathemathica сокращает их до одного и того же выражения

$$\frac{x^2-x+1}{(x-1)^4 (x+1)^2 \left(x^2+x+1\right)}.\eqno{(3)}$$

Аналогичным образом можно находить приближения функциями различного вида, которые приближают исходную функцию $f(z)$ вблизи точки $z=0$, в том числе можно получить цепную дробь или аппроксимацию Паде.

Следует отметить, что количество неизвестных параметров, которые можно найти, иногда, ограничено вычислительными возможностями используемого оборудования и пакета символьных вычислений (например, мне не хватило терпения найти п.ф. $\eqno{(1)}$ в виде дроби с полиномами 12й степени с неизвестными коэффициентами.)

Иногда, чтобы найти значение параметра, нужно решать уравнения степени больше единицы, тогда возникают неоднозначности, в самом худшем случае возможны комплексные значения параметров.

Также замечу, что этот подход работает, только если неизвестные появляются не в единственном коэффициенте разложения в ряд, а желательно, чтобы таких коэффициентов было достаточное (бесконечное?) количество.

Иногда, во время процесса исключения неизвестных, получаемые уравнения могут содержать и несколько неизвестных (например, если искать п.ф. $\eqno{(1)}$ в виде произведения циклотомических полиномов, либо если один член содержит несколько неизвестных.) Тогда следует решить уравнение относительно произвольного неизвестного, сделать подстановку и перейти к следующему шагу. Возможно устанавливать некоторые неизвестные произвольно, но это не всегда приведет к оптимальному результату. В общем случае искомая функция не будет найдена однозначно, т.к., в некоторых случаях, последовательность исключения неизвестных имеет значение.

Если на каждом шаге получаемое уравнение содержит только одно неизвестное, то теоретически, приближение можно продолжать сколько угодно.

Приведу некоторые, найденные мной, примеры приближенных функций. Сразу оговорюсь, что для следующих примеров я не предлагаю никаких полезных приложений.

$$\ln (1+z) \approx 1-e^{-z},\eqno{(4)}$$

разложение этого приближения в ряд совпадает с разложением исходной функцией до члена $z^2$ включительно.

Можно приближать функции экспонентами, которые вложены друг в друга:

$$\ln (1+z) \approx z \exp \left( -\frac{1}{2} z \exp \left(-\frac{5}{12} z \exp\left(-\frac{47}{120} z \exp\left(-\frac{12917}{33840}z \exp\left(-\frac{329458703}{874222560}z\right)\right)\right)\right)\right),\eqno{(5)}$$

разложения совпадают до члена $z^6$ включительно.

$$\cos z \approx \exp\left(-\frac{1}{2} z^2 \exp\left(\frac{1}{6} z^2 \exp\left(\frac{11}{60}z^2 \exp\left(\frac{4379}{27720}z^2\right) \right) \right) \right),\eqno{(6)}$$

разложения совпадают до члена $z^9$ включительно (с учетом членов с нулевым коэффициентом.)

Интересно, если бесконечно продолжать приближения $\eqno{(5)}$ и $\eqno{(6)}$, то будут ли коэффициенты стремиться к фиксированному числу?

Приближение "логарифмическими полиномами":

$$\cos z \approx 1+\ln \left(1-\frac{1}{2}z^2\right)+\ln \left(1+\frac{1}{6}z^4\right)+\ln \left(1+\frac{29}{720}z^6\right)+\ln \left(1+\frac{397 }{13440}z^8\right)+\ln \left(1+\frac{22679 }{3628800}z^{10}\right),\eqno{(7)}$$

разложения совпадают до члена $z^{11}$ включительно.

Можно также ввести и найти неизвестные коэффициенты перед символом логарифма:

$$\cos z \approx 1+12.2719 \ln \left(1\, -0.0407436 z^2\right)-40.424 \ln \left(1\, -0.00128272 z^4\right)+36.3947 \ln \left(1\, -0.0000305598 z^6\right)\eqno{(8)}$$

(найденные коэффициенты принимают очень громоздкую алгебраическую форму, поэтому привожу их приближение.) Разложения совпадают до члена $z^{13}$ включительно. В этом примере коэффициенты приближения зависят от последовательности исключения неизвестных, а также возникают неоднозначности в выборе значений.

Цепная дробь:

$$\cos z \approx 1+\frac{z^2}{-2+\frac{z^2}{-6+\frac{3 z^2}{10+\frac{13 z^2}{126-\frac{59 z^2}{26}}}}},\eqno{(9)}$$

разложения совпадают до члена $z^{11}$ включительно.

Приближение полинома второй степени произведением:

$$a z^2 + b z + c \approx c \left(1+\frac{b}{c} z\right)\left(1+\frac{a}{c} z^2\right) \left(1-\frac{a b }{c^2}z^3\right) \left(1+\frac{a b^2 }{c^3}z^4\right) \left(1-\frac{\left(a b^3-a^2 b c\right)}{c^4}z^5\right)\eqno{(10)}$$

разложение совпадает с полиномом до члена $z^5$ включительно (учитывая члены $z^3$, $z^4$, $z^5$ с нулевыми коэффициентами.)

P.S. Я не профессиональный математик, поэтому не ручаюсь на счет корректности того или иного действия или использования терминологии. А в остальном, если что-то непонятно, то я постараюсь ответить.
P.S.S. Все это как-то уж слишком просто, поэтому на новизну не претендую.