Монотонность и корни уравнения.

[Andrei94]

Если $f'(x)>0$ на $[a;b]$ и $f(a)<0$, $f(b)>0$

Интуитивно понятно (если набросать эскиз графика), что найдется такая точка $c\in(a,b)$, что $f(c)=0$

Есть ли теорема, которая подобное утверждает? Можно ли строго доказать это?

[provincialka]

Первое условие лишнее. Достаточно непрерывности функции. Такая теорема есть:

Если функция непрерывна на отрезке, она принимает все промежуточные значения между минимумом и максимумом.
(Которые у нее на отрезке тоже обязательно есть).
другое дело, что для возрастающей функции такая точка единственная.

[Tookser]

Да, можно. Не будем использовать условие про производную - оно избыточно. Это называется "Теорема Больцано-Коши", или "Теорема о промежуточном значении", относится к матану, в Википедии есть доказательство.

[provincialka]

(Оффтоп)

Дублируете ответ

.

-- 08.09.2013, 16:06 --

(Оффтоп)

Дублируете ответ

.