Кинематика материальной точки

[kis]

Лодка пересекает реку шириной $d$ с постоянной относительно воды скоростью $v$, перпендикулярной скорости течения реки, модуль которой нарастает от берегов к середине реки по линейному закону, меняясь от 0 до $u$. Найти траекторию лодки. Ось $x$ декартовой системы координат $$XY$ направлена вдоль берега реки, а ось $Y$ - поперек реки. Начало системы координат связано с берегом реки в момент отплытия.

Траекторию можно найти из законов движения, исключая время $t$ из уравнений. То есть нужно найти зависимости $x(t),y(t)$. Причем зависимость $y(t)$ найти несложно: $y(t) = vt$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти зависимость $x(t)$.

1) Сначала рассматриваю отрезок $y \in (0;d/2)$. Для этого отрезка нахожу зависимость $y(x)$ - траекторию лодки. Ответ совпадает.

2) Теперь рассматриваю остальную часть реки, т.е. $y \in (d/2;d)$.
На середине реки лодка имеет координаты: $x_0 = ud/4v$, $y_0=d/2$
Законы движения имеют вид:
$\[\left\{ \begin{array}{l} y(t) = {y_0} + v_y t = \frac{d}{2} + vt\\ x(t) = {x_0} + \int\limits_0^t {{v_x}(t)dx} = \frac{{ud}}{{4v}} + \int\limits_0^t {{v_x}(t)dx} \end{array} \right.\]$

Если известны законы движения, то известна и траектория движения. Поэтому задача сводится к тому, чтобы найти подынтегральную функцию $v_x(t)$.

Т.к. течение реки изменяется по линейному закону, то
$ \[\left\{ \begin{array}{l} {v_x}(y) = ay + b,\,\,y \in (\frac{d}{2};d)\\ {v_x}(y = \frac{d}{2}) = u\\ {v_x}(y = d) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {v_x}(y) = - \frac{{2u}}{d} \cdot y + 2u\]$

Второе ур-ие означает, что на середине реки скорость течения максимальна, а третье ур-ие, что рядом с берегом скорость минимальна.

Подставляя $y=d/2+vt$ (см. первую систему), в $v_x (y) = - \frac{{2u}}{d} \cdot y + 2u$, получим закон изменения скорости течения реки:
$\[{v_x}(t) = - \frac{{2uv}}{d}t + u\]$

Теперь первую систему можно преобразовать к виду:
$\[\left\{ \begin{array}{l} y(t) = \frac{d}{2} + vt\\ x(t) = - \frac{{uv}}{d}{t^2} + ut + \frac{{ud}}{{4v}} \end{array} \right.\]$

из этой системы получаю траекторию движения лодки $y(x)$ на отрезке $y \in (d/2;d)$. Но ответ неправильный. Скажите, пожалуйста, что не так?
p.s. ответ для случая $y \in (d/2;d)$
$\[y(x) = d - \sqrt {\frac{{{d^2}}}{2} - \frac{{vd}}{u}x} \]$

[Munin]

Я бы просто заметил, что после середины реки - это та же задача, что и до середины, но отражённая симметрично. Соответственно, надо всего лишь подобрать формулу для второго участка траектории, совпадающего по форме и стыкующегося с первым.

А какой ответ вам предложен как правильный? Может, там опечатка? Или они приводятся один к другому эквивалентными преобразованиями...

[kis]

Да, я тоже обратил внимание на симметрию. Эта задача типовая, поэтому мне важно отработать технику. Мне кажется, я где-то допускаю ошибку в рассуждениях.

Правильный ответ для второго случая:

kis в сообщении #761546 писал(а):

p.s. ответ для случая $y \in (d/2;d)$
$\[y(x) = d - \sqrt {\frac{{{d^2}}}{2} - \frac{{vd}}{u}x} \]$

[espe]

Из этой системы

kis в сообщении #761546 писал(а):

$$\left\{ \begin{array}{l} y(t) = \frac{d}{2} + vt\\ x(t) = - \frac{{uv}}{d}{t^2} + ut + \frac{{ud}}{{4v}} \end{array} \right.$$

следует правильный ответ. Ошибка в вычислениях после этой системы.

[Munin]

kis в сообщении #761578 писал(а):

Правильный ответ для второго случая:

kis в сообщении #761546 писал(а):

p.s. ответ для случая $y \in (d/2;d)$
$\[y(x) = d - \sqrt {\frac{{{d^2}}}{2} - \frac{{vd}}{u}x} \]$

Я подумал, это ваш, а не эталонный, с которым вы сравниваете. А тогда, что у вас получилось?

[kis]

У математики получилось два корня
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve[-u+v+%28%28y+-+d%2F2%29%2Fv%29^2+%2B+u+%28%28y+-+d%2F2%29%2Fv%29+%2B+%28u+d%29%2F%284+v%29+%3D%3D+x%2C+y]

[ewert]

kis в сообщении #761578 писал(а):

мне важно отработать технику. Мне кажется, я где-то допускаю ошибку в рассуждениях.

Что касается техники, то искать ошибки в Ваших рассуждениях трудно, т.к. они совершенно безумны по объёму. Какие ещё системы и тем более интегралы, если речь об откровенно равноускоренном движении? Т.е. $x=\dfrac{at^2}2$, где $a=\dfrac{u}T$, где $T=\dfrac{d}{2v}$, т.е. $x=\dfrac{uv}d\,t^2$. И поскольку $t=\dfrac{y}v$, для первой половины траектории сразу же получаем $x=\dfrac{u}{vd}\,y^2$, а для второй -- в силу симметрии ещё более сразу $x=2X-\dfrac{u}{vd}\,(d-y)^2$, где $X=\dfrac{ud}{4v}$ -- снос на середине речки, вот и всё.

[Munin]

kis в сообщении #761606 писал(а):

У математики получилось два корня

Я не у математики спрашиваю, а у вас. Задание-то вам дано, а не математике. Разумеется, у неё будет два корня, потому что у неё нет мозгов. Мозги должны быть у вас.

ewert
Он же объяснил: хочет технику отработать. Ну и пусть отрабатывает, а не на математику спихивает. Интегралы, вишь, ему писать не лень, а квадратное уравнение решить лень.

(Подсказка, не подсматривать)

Даже набить формулу без ошибок лень.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #761639 писал(а):

, а квадратное уравнение решить лень.

Правильно, что лень решить. Неправильно, что пытается решать.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #761649 писал(а):

Правильно, что лень решить. Неправильно, что пытается решать.

Если хочет довести решение типовых задач до автоматизма - то правильно делает. В типовых задачах обычно подобных упрощений не бывает, поскольку каждое упрощение нетиповое.