Аксиома непрерывност(полноты)

[cmxxx527]

Помогите доказать , что множество рациональных чисел "Q" не удовлетворяет аксиоме полноты.

[mihailm]

что конкретно непонятно?

[cmxxx527]

Какие множества будет не удовлетворяет аксиоме.

[ewert]

Стандартно: $\{x\in\mathbb Q:\,x^2<2\}$

[cmxxx527]

Можете объяснить почему?

[ewert]

А что в точности Вы понимаете под аксиомой полноты?... (там много разных вариантов)

[cmxxx527]

Есть два множества , одно из которых лежит левее второго, то найдется элемент, который будет разделять эти два множества .

[ewert]

Тогда (а впрочем, для любого варианта аксиомы) есть два естественных подхода.

1). Допустим, что $\mathbb R$ у нас уже есть. Тогда всё банально: точной верхней границей является $\sqrt2$, но в $\mathbb Q$ такого элемента нет.

2). Или, наоборот, про $\mathbb R$ мы пока ничего ещё не знаем. Тогда возьмём любое рациональное число $a_1$, квадрат которого меньше двух (скажем, единицу) и любое число $b_1$, квадрат которого не меньше двух (например, двойку). Далее строим последовательности $\{a_k\}$ и $\{b_k\}$ следующим образом. На каждом шаге берём $c_k=\frac12(a_k+b_k)$; если оказывается, что $c_k^2\geqslant2$, то полагаем $a_{k+1}=a_k$ и $b_{k+1}=c_k$, в противном случае $a_{k+1}=c_k$ и $b_{k+1}=b_k$. Легко доказать (подумайте, как), что разделяющий эти два множества элемент $c$ должен удовлетворять одновременно неравенствам $c^2\leqslant2$ и $c^2\geqslant2$, что на $\mathbb Q$ как-то не есть хорошо.

[Pho-Enix]

Чтобы показать, что множество Q не удовлетворяет аксиоме полноты, надо привести пример двух множеств, для которых аксиома полноты не выполнится.
Привожу пример: множество X := {x>0 и x*x < 2 } и множество Y := {y>0 и y*y > 2} (не понял как спец знаки вставлять)
X левее Y (легко проверить).
Можно показать от противного что не существует элемента, который разделял бы эти множества.
Для этого допустим, что есть такой элемент s из множества Q, который "разделяет" эти два множества.
Далее доказывается небольшая леммка о том, что s*s = 2. (Могу привести доказательство)
После этого делается следующее утверждение. так как s принадлежит Q => s = m / n ,
но s*s = 2, поэтому s*s = m*m / n*n = 2 , а можно показать что это невозможное утверждение.
(это доказательство аналогично доказательству того, что корень из 2 не представляется ввиде дроби)
Приходим к противоречию.

[Deggial]

Pho-Enix, предупреждение за полное решение простой учебной задачи и за неоформление формул $\TeX$ом.